固有ベクトル

質問

行列A=
(３，１，１)
(０，１，２)
(０，０，－１）
の固有ベクトルがうまく求められません。
固有値はλ＝－１，１，３と求められたのですが，
それすら間違っているのかと不安になってきました。
どなたか解法が分かる方がいましたらご教授願います。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

#1で書いたように固有ベクトル
λ＝-1のとき　v1=(0,1,-1)
λ＝１のとき　v2=(1,-2,0)
λ＝3のとき　v3=(1,0,0)
が求まります。

これから
P^－1AP を対角行列にする正則行列Pを以下の通り作る。

P=(v3,v2,v1)=
[1, 1, 0]
[0,-2, 1]
[0, 0,-1]
とすれば
P^-1=2*
[2, 1, 1]
[0,-1,-1]
[0, 0,-2]

P^－1AP=
[3,0, 0]
[0,1, 0]
[0,0,-1]
と対角化することができます。

お礼

なるほどP^1APで対角化を行うのですね。
PAP^1で対角化をすると勘違いをしてしまい
うまく対角化ができていませんでした。
おかげで間違いに気づくことが出来ました。
ありがとうございます！

回答No.1

info22_

>固有値はλ＝－１，１，３と求められたのですが，
>それすら間違っているのかと不安になってきました。

合ってますよ。

固有ベクトルは普通に求めれば
λ＝-1のとき　(0,1,-1)
λ＝１のとき　(1,-2,0)
λ＝3のとき　(1,0,0)
となりますので参考にして下さい。

補足

回答ありがとうございます。
似たような固有ベクトルは
求められたのですが，
固有ベクトルから対角化行列Ｐを作り，
PAP^-1の計算をしたところ対角化できませんでした。
これは固有ベクトルが適切ではないのでしょうか？
それとも対角化の仕方を間違えているのでしょうか？
よろしければ解説お願いします。