高次(階)偏導関数の問題について
高次(階)偏導関数の問題をどうにか解いてみたのですが、
あっているか自信がありません。特に(6)の問題。
わかる方、ご指導よろしくお願いします。
【問題】
次の関数f(x,y)の2次までの変動関数を求めよ。
(1) x^2+3xy+y^2+2
fx(x,y)=2x+3y
fy(x,y)=3x+2y
fxx(x,y)=2
fxy(x,y)=3
fyx(x,y)=3
fyy(x,y)=2
(2) log(x^2+y^2+1)
d/dt log(t)=1/t
δ/δx x^2+y^2+1=2x
δ/δy x^2+y^2+1=2y
合成関数の微分の公式を適用し、
fx(x,y)=1/(x^2+y^2+1)*2x=2x/(x^2+y^2+1)
fy(x,y)=1/(x^2+y^2+1)*2y=2y/(x^2+y^2+1)
商の微分の公式を適用し
fxx(x,y)={(2*(x^2+y^2+1)-2x(2x)}/(x^2+y^2+1)^2=-2(x^2-y^2-1)/(x^2+y^2+1)^2
同様に計算し、
fxy(x,y)=-4xy/(x^2+y^2+1)^2
fyx(x,y)=-4xy/(x^2+y^2+1)^2
fyy(x,y)=2(x^2-y^2+1)/(x^2+y^2+1)^2
(3) e^(xy)
d/dt log(t)=e^t
δ/δx xy=y
δ/δy xy=x
合成関数の微分の公式を適用し、
fx(x,y)=e^(xy)*y=y e^(xy)
fy(x,y)=e^(xy)*x=x e^(xy)
fxx(x,y)=y e^(xy)*y=y^2 e^(xy)
fxy(x,y)=y e^(xy)*x=xy e^(xy)
fyx(x,y)=x e^(xy)*y=xy e^(xy)
fyy(x,y)=x e^(xy)*x=y^2 e^(xy)
(4) e^(2x+3y)
d/dt log(t)=e^t
δ/δx 2x+3y=2
δ/δy 2x+3y=3
合成関数の微分の公式を適用し、
fx(x,y)=e^(2x+3y)*2=2 e^(xy)
fy(x,y)=e^(2x+3y)*3=3 e^(xy)
fxx(x,y)=2 e^(2x+3y)*2=4 e^(xy)
fxy(x,y)=2 e^(2x+3y)*3=6 e^(xy)
fyx(x,y)=3 e^(2x+3y)*2=6 e^(xy)
fyy(x,y)=3 e^(2x+3y)*3=9 e^(xy)
(5) x^2+3xy+4y^2+1
fx(x,y)=2x+3y
fy(x,y)=3x+8y
fxx(x,y)=2
fxy(x,y)=3
fyx(x,y)=3
fyy(x,y)=8
(6) xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2) ((x,y)≠(0,0))
{
0 ((x,y)=(0,0))
fx(0,0)={f(x,0)-f(0,0)}/x=0/x=0
同様に
fy(0,0)={f(0,y)-f(0,0)}/y=0/y=0
(x,y)≠0のとき、商の微分の公式を適用して
fx(x,y)=y(x^4+4x^2y^2-y^4)/(x^2+y^2)^2
fy(x,y)=x(x^4-4x^2y^2-y^4)/(x^2+y^2)^2
再度、商の微分の公式を適用して
fxx(x,y)=-4xy^3(x^2-3y^2)/(x^2+y^2)^3
fxy(x,y)=(x^6+9x^4y^2-9x^2y^4-y^6)/(x^2+y^2)^3
fyx(x,y)=(x^6+9x^4y^2-9x^2y^4-y^6)/(x^2+y^2)^3
fyy(x,y)=-4xy(2x^4+x^2+y^4)/(x^2+y^2)^3
疑問点1
fxx(0,0),fxy(0,0),fyx(0,0),fyy(0,0)についても、
求めなくてもいいのでしょうか？
疑問点2
商の微分を2回行うことにより、計算結果を導いたのですが、
もっと簡単な手順で導く公式等はないのでしょうか？
たびたびの質問で申し訳ありませんが、
ご指導のほどよろしくお願いします。
お礼
ご回答ありがとうございます。 なるほどそういう風にやるのですね。 じっくり考えてみます。