集合と確率

質問

1、2、…、30のカード30枚がある これらのカードの中から1枚を引いて記入された数を記録してもとに戻すという試行を2回繰り返す このようにして記録された2個の数の中に、2の倍数が少なくとも1個ある事象をＡ、3の倍数が少なくとも1個ある事象をＢとする
次を求めよ
(1)ＡまたはＢが起こる確率
(2)Ａは起こるがＢは起こらない確率
(3)ＡもＢも起こる確率

Ａの起こる確率をＰ(Ａ)とすると
Ｐ(Ａ)＝3/4 Ｐ(￢Ａ)＝1/4 Ｐ(Ｂ)＝5/9 Ｐ(￢Ｂ)＝4/9なのは分かるのですが(1)のＰ(Ａ∪Ｂ)、(2)のＰ(Ａ∩￢Ｂ)、(3)のＰ(Ａ∩Ｂ)の求め方が分かりません
教えてください

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

30枚のカードのうち、2の倍数または3の倍数のカードは、30/2+30/3-30/6=20枚
よって、2の倍数でも3の倍数でもないカードは、30-20=10枚

￢Ａ∩￢Ｂは２枚とも2の倍数でも3の倍数でもない事象なので、
P(￢Ａ∩￢Ｂ)=(10/30)^2=1/9

(1)と(3)は、
P(Ａ∪Ｂ)=1-P(￢(Ａ∪Ｂ))=1-P(￢Ａ∩￢Ｂ)=8/9
P(Ａ∩Ｂ)=P(Ａ)+P(Ｂ)-P(Ａ∪Ｂ)=3/4+5/9-8/9=5/12

(2)はちょっと工夫が必要ですが、
P(Ａ∪￢Ｂ)=P((Ａ∪￢Ａ)∩(Ａ∪￢Ｂ))=P(Ａ∩(￢Ａ∪￢Ｂ))
=P(Ａ)+P(￢Ａ∪￢Ｂ)-P(Ａ∪(￢Ａ∪￢Ｂ))
=P(Ａ)+P(￢Ａ)+P(￢Ｂ)-P(￢Ａ∩￢Ｂ)-P(Ｅ)　　（Ｅは全事象）
=P(￢Ｂ)-P(￢Ａ∩￢Ｂ)　　　　　　　（∵P(Ａ)+P(￢Ａ)=P(Ｅ)=1）
=4/9-1/9=1/3

お礼

わかりやすいのですが(2)はP(Ａ∩￢Ｂ)です
他はとても参考になりました
回答ありがとうございました

回答No.3

nag0720

＞わかりやすいのですが(2)はP(Ａ∩￢Ｂ)です

失礼しました。
でも、偶然ですが、計算式もまちがっていたので答は合っていたかな？

P(Ａ∩￢Ｂ)=P((Ａ∩￢Ａ)∪(Ａ∩￢Ｂ))=P(Ａ∩(￢Ａ∪￢Ｂ))
=P(Ａ)+P(￢Ａ∪￢Ｂ)-P(Ａ∪(￢Ａ∪￢Ｂ))
=P(Ａ)+P(￢Ａ)+P(￢Ｂ)-P(￢Ａ∩￢Ｂ)-P(Ｅ)　　（Ｅは全事象）
=P(￢Ｂ)-P(￢Ａ∩￢Ｂ)　　　　　　　（∵P(Ａ)+P(￢Ａ)=P(Ｅ)=1）
=4/9-1/9=1/3

お礼

訂正ありがとうございました

補足

P(Ａ∩(￢Ａ∪￢Ｂ))
=P(Ａ)+P(￢Ａ∪￢Ｂ)-P(Ａ∪(￢Ａ∪￢Ｂ))

という変形がよく分からないので教えてください

回答No.2

MagicianKuma

Ｐ(Ａ),Ｐ(￢Ａ),Ｐ(Ｂ),Ｐ(￢Ｂ)などが分かったとしても、これらの数値だけを使ってＰ(Ａ∩Ｂ)等は普通求まりません。
A∩BとかA∪BとかA∩￢BなどのAとBの両方使って表現される集合のどれか一つは場合の数を調べる必要がありますね。
少なくともという言葉が入っている事象の数え上げは面倒で間違いもしやすいことが多いですから、￢を考えるのが良いでしょう。
また、∪より∩のほうが数えやすいので、結局、回答者No1さんのように￢Ａ∩￢Ｂを数えてみるのが一番楽かも。
で求まったら、後は、　P(A∩B)+P(A∪B)=P(A)+P(B) を基本式として、ド・モルガンの式をあれこれ当てはめればOKです。

お礼

集合の考え方は知らなかったです
今後使いたいと思います ありがとうございました