確率について(ドモルガンの法則)

質問

以下の問題について、2つ質問です。

<問題>さいころをn回振って、その積が6の倍数である確率を求めよ

【1】次の解のどこがおかしいか、指摘をお願いします。

6が1回でも出る事象をA
2,4が1回でも出る事象をB
3が1回でも出る事象をCとおく。Aの補集合をAcと表記すると、
P(Ac)=1-(5/6)^n
P(Bc)=1-(2/3)^n
P(Cc)=1-(5/6)^n
とおける。(多分、ここが間違っているんだと思いますが…)

すると、
求める確率をP(X)とおくと、P(X)は、
(P(A)∧P((B∧C)c))∨P(B∧C)と表記できる。変形して
(1-P(Ac))∧P(B)c∧P(C)c-P(Bc∧Cc)∨(1-(P(B)c∧P(C)c-P(Bc∧Cc))
とおける。

P(Bc∧Cc)は、(1-(1/2)^n)とおける。
各確率を代入して、
(1-(5/6)^n)(1-(5/6)^n-(2/3)^n+(1/2)^n)+((5/6)^n+(2/3)^n-(1/2)^n)
=
(1-(5/6)^n)(1-(5/6)^n-(2/3)^n+(1/2)^n)+((5/6)^n+(2/3)^n-(1/2)^n)
=
((2/3)^n-(1/2)^n)(1-(2/3)^n-(5/6)^n+(1/2)^n)

…n=2を代入すると明らかに異なる答えが出ます。

【2】次の解が正解なのですが…

2の倍数が少なくとも1つ出る事象をAとおく
3の倍数が少なくとも1つ出る事象をBとおく。
求める確率はP(A∧B)
P(A∧B)
=1-P((A∧B)c)
=1-(P(Ac)+P(Bc)-P(Ac∧Bc))
=1-(1/2)^n-(2/3)^n+(1/3)^n

となっています。
この場合、「1度だけ6の出目が出て、他は1と5の出目しか出ていない」
というパターンを計上していないように見えますが、これでナゼ正解と言えるのでしょうか？

多分5分程度で回答する問題だと思いますが、もう6時間以上悩んでいます…
どなたかご教授願います。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

まさに
「多分、ここが間違っているんだと思いますが…」
のところが間違ってますね. 例えば n=1 のとき P(Ac) はいくつになるでしょうか?

【2】の方は, よく考えればわかりますが「6 は 2の倍数でありかつ 3の倍数でもある」ので, A と B の両方で計上されます.

お礼

なるほど。理解できました。
数学以前の日本語の問題ですね…

回答No.3

D-Matsu

6は2の倍数でも3の倍数でもあるので、回答例の「AΛB」には「6が一回出た」ももちろん含まれるからです。

お礼

ありがとうございます。
この問題の前の誘導問題の絡みで、どうも思い込みがあったようです。
仰るとおりですね。疑問は氷解しました。

回答No.2

alice_44

自分でも気づいているように、
初端から間違っている。
まず、P(Ac)=(5/6)n乗。
他にも気がつく所を訂正してから、
再質問をどうぞ。