集合と確率

質問

数学で別解を考えて間違えがわからないので質問します。
問題は、
n個のサイコロを同時になげるとき、出る目の最大値が5である確率をもとめなさい。です。

本に載っている解答では、n個のサイコロを同時になげるとき、目の出方は6^n通りあり、これらは同様に確からしい。
「出る目の最大値が5である」とは、「出る目はすべて５以下で、少なくとも１個の目は5である」だから「出る目がすべて5以下である」「5の目が１個もでない」
という事象をそれぞれA、Bとおくと、求める確率は
P{A∩(Bでない)}=P(A)-P(A∩B)・・・(1)と表される。
P(A)=5^n/6^n 他方、A∩Bは「出る目がすべて5以下かつ５の目が１個もでない」すなわち「出る目がすべて４以下である」という事象であるから P(A∩B)=4^n/6^n これらを(1)に代入して
(5^n-4^n)/6^n　と答えをだしています。

自分の考えでは、「少なくとも１個の目は5である」「出る目がすべて5以下」という事象をそれぞれ
A、Bとおき、P(A)=1-(5^n/6^n)、P(B)=5^n/6^n。
求める確率をP(A∩B)とし、P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)・・・(2)を使って求めようとしました。
P(A∪B)=1-P(A∪Bでない)=1-P{(Aでない)∩(Bでない)} より、
Aでないは「5の目が１回もでない」Bでないは「出る目がすべて5より大きい」と考え、(Aでない)∩(Bでない)は「出る目がすべて6」
よってP(A∪B)=1-(1^n/6^n)。 (2)に求めた確率を代入して、1^n/6^nが答えになってしまいました。
どなたか自分の考えの間違いを指摘してください。お願いします。

回答No.3

staratras · ベストアンサー

No.1~2です。ご質問の趣旨を生かして解いてみましたが、遠回りしている感じがします。

「少なくとも1個の目は5である」事象A：P(A)=1-(5^n/6^n)
「出る目がすべて5以下」事象B:P(B)=5^n/6^n　とすると

事象Aでない→「すべての目が5以外である」
事象Bでない→「少なくとも1つの目は5より大(6)である」

事象Aでなく、かつ事象Bでない
「目が1,2,3,4,6のいずれかであり、少なくとも1つは6を含む」

「目が1,2,3,4,6のいずれかである確率」(5^n/6^n)
「このとき目に少なくとも1つは6を含む確率」1-(4^n/5^n)

求める確率はこの積（A~はAでないを表すとする）
P(A~∩B~)=(5^n/6^n)(1-(4^n/5^n)）=(5^n/6^n)-(4^n/6^n)=(5^n-4^n)/6^n

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A~∩B~)=1-(5^n-4^n)/6^n

したがって求める確率
P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=1-(1-(5^n-4^n)/6^n=(5^n-4^n)/6^n

お礼

丁寧な解説ありがとうございます。

回答No.2

staratras

No.1は勘違いです。失礼しました。

「「出る目がすべて5以下」でない」のは「出る目がすべて5より大きい」ではなく「少なくとも一つの目が5より大きい」ではないでしょうか。

お礼

すべて・・・の否定には気お付けます。ご指摘ありがとうございます。

回答No.1

staratras

＞自分の考えでは、「少なくとも１個の目は5である」「出る目がすべて5以下」という事象をそれぞれ
A、Bとおき、P(A)=1-(5^n/6^n)、P(B)=5^n/6^n。

これが正しければ、P(A)+P(B)=1 となりますが、そうするとAでもBでもない事象（たとえば出た目がすべて6）が起きる確率はどこに消えたのでしょうか？