外積の定義はどのようにして導出されたか？

質問

仕事柄外積を良く使い、物理的意味や用途は良く知っているものの、その導出がどのようになされたのかを調べてみたのですがどうもわかりません。3次元のベクトルP0[x0,y0,z0],P1[x1,y1,z1]の場合

　P0×P1＝[y0*z1-z0*y1, z0*x1-x0*z1, x0*y1-y0*x1]

となりますが、なぜこの計算で「2ベクトルに対し直角なベクトル」が求められると先達は気づけたのでしょうか？

回答No.6

ichiro-hot · ベストアンサー

＃４です。
●WIKI
「ヘルマン・グラスマン」
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%83%9E%E3%83%B3
上記より引用；
『ゴットフリート・ライプニッツの考えた、座標を用いない幾何学計算法の建設を目指した論文Geometrische Analyse を学会に提出し、1846年に賞を授与された。グラスマンの数学的業績で特に重要なのは広延論（Ausdehnunglehre）と称する理論に関する2論文（Die lineare Ausdehnunglehre, ein neuer Zweig der Mathematik, 1844 とDie Ausdehnunglehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet, Berlin 1862。それぞれA1およびA2と呼ばれている）にまとめられた』
　A１に答えが有るのでしょうね。
　「外積」の項には、『仕事』に対応する内積に対して、『面積』を表すA×Bを考え、A×BとB×Aの面の裏表を表す工夫から面に垂直なベクトルを考えた、そうするとその計算規則が定まるという意味のことが書いてある。それを座標系の基底ベクトルを求めるために用いたのがグラスマンというのなら、座標の基底ベクトルの変換則を定めるために考えたというのは正しいのかな。（人は違ってたけど・・・）
　ですが、それがリーマン空間とのかかわりで・・・と言うところは間違ってるでしょうね。
　ただ、これも運動学的な意味で・・・、軌道運動の接線ベクトル・主法線ベクトルに対して、「従法線ベクトル」を求めるための計算方法として考えついたのでは？
　軌道運動との関係ではもう１つ有って、まず天体の運動を「軌道平面内」で考えるだけで『角運動量』の計算式ｍ（ｘ・Vｙ－Vx・ｙ）から「外積の成分」を求める計算式がでてくることがある。歴史的にはケプラーの『面積速度一定の法則』が先で、この角運動量が面積速度と結びついている。
　それを３次元で考え、回転の方向などを示すために面に垂直なベクトルを考えるようになるだろう。この面積速度（角運動量）のベクトル表示が先に有ったのではないだろうか？（ベクトルの命名はハミルトンのようだ。）ライプニッツあたりがそのようなことを行ったのではないだろうか？
　それを大きさで割って単位ベクトルにすれば座標軸の単位ベクトルにつながる。その計算規則を抽出して定義したのがグラスマンということなのだろうか？
　このあたりにヒントが有るのだろう。

お礼

なるほど
あたってみます

回答No.5

ichiro-hot

●＃４　なんという錯誤！
よくよく見たら、「グラスマン積」じゃない！「グロスマン」とは別人物！！
相対論を先に勉強したんで、ず～っと同一人物と思ってましたよ。数学の同じ分野のベクトル・テンソルについての研究者、ただし５０年ぐらいの錯誤がある！
ちょっと困っちゃったね・・・修復不能！
ということで、＃４は無視！よろしく

回答No.4

ichiro-hot

＜たわごと＞
●　外積そのものでなく、「どのようにして考えついたか」という「数学の発展史・研究史」に関する疑問ですね。
●　外積の定義はグロスマンによるものでグロスマン積とも言われるとおりです。テンソルの変換則を考える際にグロスマン積として定義されたのが最初のようです。そこで、次のように考えましたが・・・
　ということは、テンソル解析＝４次元空間での座標変換則を考える必要からグロスマン積が考えられ、その計算規則を3次元空間で利用した時に非常に便利なので、いわゆる外積が用いられるようになったのでは？・・・どうなのでしょう。グロスマンが定義したということが大きなヒントでは？

●　グロスマンはアインシュタインの友人で、アインシュタインが一般相対性理論の展開を始めた初期論文の共著者で、数学部門を担当したことで有名です。
※ただし、自分にはグロスマンがアインシュタインと共同研究を始めたときに自分の数学をどの程度作り上げていたのかは良くわかりません。アインシュタイン選集の中でもにも初期論文のグロスマンの担当した数学部門は割愛してあったりして、その理論を作り上げるためにどのような考察を行ったのかとかのグロスマンの研究史等は全く知りません。また、リーマンがどのように幾何学を展開しているかも調べないといけませんが、リーマン選集は『高くって、購入できず』読んでおりません。断片的な知識のつなぎ合わせ・・・＜たわごと＞なのです。※

●　＜たわごとの中身＞
　リーマン幾何学では線素ｄｓが大きな働きをします。（以下、３次元で）ｄｓの振る舞いがわかると、その近傍でのｄｓの振る舞いから測地線とその接平面が決まり、ｄｓの接ベクトル方向（ｄｖの方向）が決まり、それに垂直な方向として曲率の中心方向が決まります。３次元ではもう１つ、この双方に垂直な方向を定めることが必要になります。その３つの方向を定めて局所座標系の直交座標を作ります。
　だからグロスマンは、その接平面に垂直なベクトルを求める方法を考え、それを求めるための計算規則としてグロスマン積を考えたのではないか？とふと思ったのですけど・・・この計算規則を考え付く具体的な局面はここしかないのではないかと思うのですがどうでしょうか？

●　この必要性は、例えば古くはコリオリ力、電磁気のフレミングの法則、レンツの法則などの例が有りますが、例えば『電流をｘ軸方向にとり、磁界をｙ軸方向にとったときに、左手直交系でｚ軸方向に力が働く』という表現で、計算によらなくても操作的な定義で済ますことができます。それまでは、このようにグロスマン積と等価な『左手の法則』を用いて方向を考えたのであって、”『計算規則』に拠って求めていたのではない”ということなのではないでしょうか。（リーマン自身が曲率を定義するときにどう述べているかを調べていればもうちょっと自信を持っていえるのですが）
　グロスマンのところまでいって、やっとその計算規則を定めることになったのは、抽象的な４次元空間では『指』を使った操作的な定義では考えることができなくなったからなのでは。『４次元空間の中の局所空間での座標系』を定めるために『基底ベクトル』を作る必要があり、それを作るための『計算規則』が必要で外積を考え付いたのではないだろうか？と推測できるのですが・・・・
　数学家の人、出番ですよ・・・・

補足

ご回答いただいた内容は動機についてが主なようですが、もちろんそのような動機があったから外積という手法が生まれたのでしょう。ただ、純粋に数学的に「他ベクトル全てに対して垂直になる」ということを導出できた過程が知りたいのです。

回答No.3

noname#111804

基底Vector　i（１）、i(2)、・・・、i(n)を含む
n次元、n個のVector　P(1)、P(2),・・・、P(n)を考える。

このときの外積を次のようの定義する。
（（P(1)ｘP(2)）ｘP(3)）・・・）ｘP(n)
＝｜i(1)、i(2),・・・、i(n)｜
　｜P(２１）、P(２2)、・・・P(２n)｜
　｜P(３１)、P(３２)、・・・P(３ｎ)｜
　｜・　　　　　　　　　　　　　　｜
　｜・　　　　　　　　　　　　　　｜
　｜・　　　　　　　　　　　　　　｜
　｜P(n1)、P(n2)、・・・　　　P(nn)｜　

基底Vector　i(1)、i（２）、・・・i(n)について
展開すれば外積が計算できる？

P0×P1
＝｜i(1)、i(2),i(3)｜
　｜ｘ０、ｙ０、ｚ０｜
　｜ｘ１、ｙ１、ｚ１｜
＝　（y0*z1-z0*y1）i(1)
　＋（z0*x1-x0*z1）i(2)
　＋（x0*y1-y0*x1）i(3)

補足

もちろんこの計算の定義は存じ上げております。3次元でこの計算を行ったときに2ベクトルに対し垂直なベクトルが出来上がることも確認したことはあります。ただ私の疑問はなぜこれで他ベクトル全てに垂直なベクトルになることが導出できたのかということです。これって結果の数式を見ただけだと「ｎ項目にはｎ番目の基底方向成分だけが含まれていない」という特徴がわかるぐらいですよね？しかしここからなぜこれで垂直になるのかということを考えてみてもわかりませんでしたし、おそらく代数の知識なしにはわからないような気がしています。

回答No.2

info22

3次元のx軸,y軸,z軸方向の単位ベクトルをi,j,jとするとき
単位ベクトル間のベクトル積を右手系として
ixj=k,jxk=i,kxi=j
jxi=-k,kxj=-i,ixk=-j
ixi=0,jxj=0,kxk=0
などと定義したため
一般のベクトル間のベクトル積が
P0×P1＝[y0*z1-z0*y1, z0*x1-x0*z1, x0*y1-y0*x1]
と導出されたのではないでしょうか？

お礼

確かに計算テクニック的にはしっくりくるご説明ですが、方向が違う外積同士で和をとらなければならない理由がぴんとこないんですよねぇ。

回答No.1

Mr_Holland

というか、外積を「2ベクトルに対し直角なベクトル」と定義すると、直交座標系での成分表示がそうなっただけではないでしょうか。

　ご承知の通り、「2ベクトルに対し直角なベクトル」を求める意味は、物理分野ではよくありますから。

お礼

たしかにそのとおりかもしれません。もしその順序で考えられ、直感的に正しい方法が導き出されたというのであればそれまででしょう。しかし直感的な導出も検証なしには成り立たなかったはずです。その過程が知れれば幸いでした。
ご回答ありがとうございました。