ラプラス変換を用いたLC直列接続回路の電流の問題

質問

すみません。どなたかご教示頂けたらと存じます。

L=1[H], C=1[F]を直列に接続し、その両端(Lの1端とCの1端)に電圧v(t)を与えます。
(初期電流とコンデンサの初期電荷は0)
ただし、この時のv(t)は
t (0<t<1)
1 (t>1)
となる時、この時の電流i(t)を解け、という問題で、

(1/C)∫idt + Ldi/dt = t + {-t+1}u(1)(t) となり、これをラプラス変換して
左辺 = I/(sC) + sLI = {(1/s) + s}I
右辺 = t - (t-1)u(1)(t) = (1/s^2) - (1/s^2)(e^-s)
よって、
I = {(1/s^2) - (1/s^2)(e^-s)} / {(1/s) + s}
とここまで来たのですが、どうにもラプラス逆変換できる所まで力不足で持っていけません。

どなたかご教示頂けたらと思います。
宜しくお願い申し上げます。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>(1/C)∫idt + Ldi/dt = t + {-t+1}u(1)(t)
v(t)の単位を[V]とする。

右辺がおかしい？正しくは
(1/C)∫idt + Ldi/dt = tu(t) +(-t+1)u(t-1)

> となり、これをラプラス変換して
>左辺 = I/(sC) + sLI = {(1/s) + s}I
>右辺 = t - (t-1)u(1)(t) = (1/s^2) - (1/s^2)(e^-s)

>よって、
>I = {(1/s^2) - (1/s^2)e^(-s)} / {(1/s) + s}
={1-e^(-s)}/{s(s^2+1)}
={1-e^(-s)}[(1/s)-{s/(s^2+1)}]
ラプラス変換表を使い逆変換すると
i(t)={1-cos(t)}u(t)-{1-cos(t-1)}u(t-1)　[A]

となるかと…。

お礼

ご回答ありがとうございます。

1/s{(s^2)+1} = A/s + (Bs+C)/{(s^2)+1}
として、部分分数展開すれば良いんですね。
基本的なことが分からずお手数かけました。

ありがとうございます。大変助かりました。

回答No.1

Tacosan

e^-s がなければ大丈夫ですか?

補足

お返事頂きありがとうございます。

e^-s がなければというのは、単純に
(1/s^2)/{(1/s) + s}
の逆変換が解けるか、ということでしょうか？

変形して、
1/(s+s^3)
もしくは
1/s(1+s^2)
となるのですが、部分分数展開としてもちょっと、という感じです。
すみません力不足ですが、ご教示頂けたらと思います。