漸化式を作成

質問

a[n] = (5 + 3^n*(4*n - 5))/2 を解にもつ漸化式を作成願います。

回答No.3

muturajcp

a[n]=5/2+2n(3^n)-(5/2)(3^n)…(1)
a[n+1]=5/2+6n(3^n)-(3/2)(3^n)…(2)
a[n+2]=5/2+18n(3^n)+(27/2)(3^n)…(3)

(2)の両辺に3をかけると
3a[n+1]=15/2+18n(3^n)-(9/2)(3^n)
↓これから(3)を引くと
3a[n+1]-a[n+2]=5-18(3^n)…(4)

(1)の両辺に3をかけると
3a[n]=15/2+6n(3^n)-(15/2)(3^n)
↓これから(2)を引くと
3a[n]-a[n+1]=5-6(3^n)
↓両辺に3をかけると
9a[n]-3a[n+1]=15-18(3^n)
↓これから(4)を引くと
9a[n]-6a[n+1]+a[n+2]=10
↓両辺に6a[n+1]-9a[n]を加えると
a[n+2]=6a[n+1]-9a[n]+10…(5)
↓nをn-1で置き換えると
a[n+1]=6a[n]-9a[n-1]+10
↓これを(5)から引くと
a[n+2]-a[n+1]=6a[n+1]-15a[n]+9a[n-1]
↓両辺にa[n+1]を加えると
∴
a[n+2]=7a[n+1]-15a[n]+9a[n-1]

回答No.2

muturajcp

a[n]=(5+3^n(4n-5))/2…(0)

a[n+1]-a[n]
=[5+3^(n+1){4(n+1)-5}]/2-{5+3^n(4n-5)}/2
=3^n(4n+1)
だから
a[n+1]-a[n]=3^n(4n+1)…(1)
↓nをn+1に置き換えると
a[n+2]-a[n+1]=3^(n+1)(4n+5)…(2)
(1)のnをn-1に置き換えると
a[n]-a[n-1]=3^(n-1)(4n-3)…(3)

a[n+1]=b*a[n]+c*a[n-1]+d…(4)
a[n+2]=b*a[n+1]+c*a[n]+d
とすると
a[n+2]-a[n+1]=b(a[n+1]-a[n])+c(a[n]-a[n-1])
これに(1),(2),(3)を代入すると
3^(n+1)(4n+5)=b*3^n(4n+1)+c*3^(n-1)(4n-3)
両辺を3^(n-1)で割ると
9(4n+5)=3b(4n+1)+c(4n-3)
36n+45=12bn+3b+4cn-3c
36n+45=4n(3b+c)+3(b-c)
↓両辺から36n+45を引いて左右を入れ替えると
4n(3b+c)-36n+3(b-c)-45=0
4n(3b+c-9)+3(b-c-15)=0…(5)
↓nをn+1で置き換えると
4(n+1)(3b+c-9)+3(b-c-15)=0
↓これから(5)を引くと
4(3b+c-9)=0
↓両辺を4で割ると
3b+c-9=0…(6)
↓これを(5)に代入すると
3(b-c-15)=0
↓両辺を3で割ると
b-c-15=0…(7)
↓これに(6)を加えると
4b-24=0
↓両辺を4で割ると
b-6=0
↓両辺に6を加えると
b=6…(8)
↓これを(7)に代入すると
6-c-15=0
-c-9=0
↓両辺にcを加え左右を入れ替えると
c=-9
↓これと(8)を(4)に代入すると
a[n+1]=6a[n]-9a[n-1]+d…(8)

(0)のnをn+1で置き換えると
a[n+1]=(5+3^(n+1)(4n-1))/2…(9)
(0)のnをn-1で置き換えると
a[n-1]=(5+3^(n-1)(4n-9))/2
↓これと(0)と(9)を(8)に代入すると
(5+3^(n+1)(4n-1))/2=6(5+3^n(4n-5))/2-9(5+3^(n-1)(4n-9))/2+d
↓両辺に2をかけると
5+3^(n+1)(4n-1)=-15+6*3^n(4n-5)-9*3^(n-1)(4n-9)+2d
↓両辺に15-3^(n-1)(36n+9)を加えると
20=2d
↓両辺を2で割り左右を入れ替えると
d=10
↓これを(8)に代入すると
∴
a[n+1]=6a[n]-9a[n-1]+10

回答No.1

muturajcp

a[n]=(5+3^n(4n-5))/2

a[n+1]-a[n]
=[5+3^(n+1){4(n+1)-5}]/2-{5+3^n(4n-5)}/2
={3^(n+1)(4n+4-5)-3^n(4n-5)}/2
=(3^n){3(4n-1)-4n+5}/2
=(3^n)(12n-3-4n+5)/2
=(3^n)(8n+2)/2
=(3^n)(4n+1)

a[n+1]-a[n]=(3^n)(4n+1)
∴
a[n+1]=a[n]+(3^n)(4n+1)