漸化式についてです

質問

a[n+2]+a[n]＝0 a[1]＝-1 a[2]＝0

という漸化式の一般項を求めよ、という問題なのですが
最終的にiが残らない形になるようにする方法が分かりません。

どなたか分かる方教えて下さると嬉しいです。
よろしくお願いします。

回答No.4

SKJAXN

この漸化式の一般項は、
a[n]＝－sin(π/2*n)
で表せるかと存じます。理由は下記のとおりです。

貴殿は、３項間漸化式の特性方程式 λ^2＋p*λ＋q＝0 の解がα、β（α≠β）となるとき、一般項が
a[n]＝{β^(n－1)*(a[2]－α*a[1])－α^(n－1)*(a[2]－β*a[1])}/(β－α)　→(式1)
で表されることはご理解されているものの、今回の特性方程式の解がλ＝±iとなってしまう点で躓かれたものと察しております。

虚数解となったとしても、α＝－i、β＝i として(式1)に代入すると、
a[n]＝{i^(n－1)*(0－(－i)*(－1))－(－i)^(n－1)*(0－i*(－1))}/(i－(－i))
＝{i^(n－1)*(－i)－(－i)^(n－1)*i}/(2*i)
＝－{i^n－(－i)^n}/(2*i)
ここでオイラーの公式 exp(i*θ)＝cos(θ)＋i*sin(θ) に着目すると、
i＝exp(i*π/2)、－i＝exp(i*(－π/2)) より、
i^n＝exp(i*π/2*n)、(－i)^n＝exp(－i*π/2*n) であるので、
a[n]＝－{exp(i*π/2*n)－exp(－i*π/2*n)}/(2*i)

再びオイラーの公式 sin(θ)＝{exp(i*θ)－exp(－i*θ)}/(2*i) に着目すると、
a[n]＝－sin(π/2*n)
が導出されます。いかがでしょう？

お礼

そうですね、確かにiで苦戦していました。
おかげさまで理解することができました。
回答ありがとうございました。

回答No.3

over_the_galaxy

初項から順に求めていくと
-1, 0, 1, 0, -1, 0, ....

こりゃもう決まりだね。

お礼

それだけ見たらとても簡単ですね...
複雑になるとばかり思っていたので非常に拍子抜けしました。
回答ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

と #1 を見ると, a[n] に 4 という周期が見える.

「周期関数」で何か思いつきませんか?

お礼

周期、でピンときました。
そう考えれば簡単でしたね。
回答ありがとうございました。

回答No.1

Willyt

a(2)=0 なのですから　a(2n)=0 になりますね。
また、a(1)=-1 なのですから　a(3=1、 a(5)=-1 ・・・となります。 a(4nー1)=1 a(4n+1)=-1 です。

お礼

なるほど、そういう解き方もあるんですね。
特性方程式～の流れしか頭になかったので非常に参考になりました。
ありがとうございました。