数学II 式と証明について

質問

(1)X＾3　-3X＾2　+ax b を x^2 +3x +2 で割った余りが5ｘ－3のとき

-2a+b=あ -a+b=い

　　このとき、なぜ、この-2a+b　 -a+b　の式が必要なのでしょうか？
　　また　どうやって求めればいいのでしょうか？

(2)ｎがすべての実数値をとるとき
　　（3ｎ+2）ｘ　＋　（4ｎ-1）ｙ　-10ｎ　＋3＝0のとき

　ｘ　ｙをどうやって求めればいいのでしょうか？

よろしければ　計算式を省かずわかりやすく教えてください。
お願いいたします。

回答No.5

ferien · ベストアンサー

ANo.2です。補足の質問について

f(x)＝X＾3-3X＾2+ax＋b＝（ｘ＋１）（ｘ＋２）Ｑ（ｘ）＋（５ｘ－３）とおくと、
ここまではいいのですが
＞なぜここから以下の式が出てくるのでしょうか？

ｆ（－１）＝（－１）^3－３×（－１）^2＋ａ×（－１）＋ｂ＝０＋５×（－１）－３より、
－１－３－ａ＋ｂ＝－８から、－ａ＋ｂ＝－４
ｆ（－２）＝（－２）^3－３×（－２）^2＋ａ×（－２）＋ｂ＝０＋５×（－２）－３より、
－８－１２－２ａ＋ｂ＝－１３から、－２ａ＋ｂ＝７

になります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
非常によくわかりました。

回答No.4

yyssaa

このとき、なぜ、この-2a+b　 -a+b　の式が必要なのでしょうか？
　　また　どうやって求めればいいのでしょうか？
＞そんな面倒なことをやらずに、多分質問者さんがやったように普通に
割り算をして、その余り(a+16)x+(b+12)を(5x-3)とイコールでOKです。

(2)ｎがすべての実数値をとるとき・・・
＞nがどんな実数でも成り立つということは、その式はnに左右されない
ということですから、ｎでまとめてたときにその係数は０で決まりです。
その上で、残りの式が成り立つように考えます。

お礼

ご回答ありがとうございます。
最初の問題は普通に割り算でいいんですね。

回答No.3

bibendumbibendum

（１）
題意を式に直すと
X＾3　-3X＾2　+ax＋ b　＝（x^2 +3x +2 ）×（xの一次式）＋x－３
になります。
これは恒等式といって、どんなxについても成り立つ式です。

どんなxについても成り立つので、好きなxの値をいれてもいいのです。
そんなことを考えながら上の式をみます。
右辺には「xの一次式」というまだなんだかわからないものがあって、これをもとめてもいいのですが、
これがなくなってしまえば、もっと簡単になります。それはx^2 +3x +2が０になればいいのです。

ところでx^2 +3x +2は（x＋１）（x＋２）と因数分解できますので、
x＝ー１、－２のときにx^2 +3x +2は０になります。

最初の式はどんなxでも成り立つ式で、x＝ー１と－２のときは右辺の第一項が０になるので
それを計算すると-2a+bと-a+bがでてきます。

（２）
これは解き方が２つあって、どんなnでも上の式はなりたつのでn=-2/3をいれるとxが消えるし
n=1/4を入れると今度はyがきえる。
残った式は一次方程式なのですぐに解ける。

もうひとつの方法は決まりきったやりかたで、どんなnでも成り立つというときにはnで整理する。
an+b=0
ただしaとbはそれぞれ、xやyをふくんだ式

どんなnに対しても上の式が成り立つためにはa=０、b＝０でなければならない。
そうするとxyの連立方程式になるから答えがでてくる。

お礼

ご回答ありがとうございます。
ものすごく丁寧に書いてあり非常にわかりやすかったです。

回答No.2

ferien

(1)X＾3　-3X＾2　+ax b を x^2 +3x +2 で割った余りが5ｘ－3のとき

-2a+b=あ -a+b=い

＞　　このとき、なぜ、この-2a+b　 -a+b　の式が必要なのでしょうか？
この問題だけでは、分かりません。
＞　　また　どうやって求めればいいのでしょうか？
x^2 +3x +2＝（ｘ＋１）（ｘ＋２）より、
f(x)＝X＾3-3X＾2+ax＋b＝（ｘ＋１）（ｘ＋２）Ｑ（ｘ）＋（５ｘ－３）とおくと、
ｆ（－１）＝－１－３－ａ＋ｂ＝５×（－１）－３　より、－ａ＋ｂ＝い
ｆ（－２）＝同様にして、　　　　　　　　　　　　　　－２ａ＋ｂ＝あ
を求めればいいです。

(2)ｎがすべての実数値をとるとき
　　（3ｎ+2）ｘ　＋　（4ｎ-1）ｙ　-10ｎ　＋3＝0のとき
＞　ｘ　ｙをどうやって求めればいいのでしょうか？
ｎについて整理すると、
（３ｘ＋４ｙ－１０）ｎ＋（２ｘ－ｙ＋３）＝０
ｎがすべての実数値をとるから、ｎがどんな値でも等式が成り立つには、
３ｘ＋４ｙ－１０＝０
２ｘ－ｙ＋３＝０
であれば良いから、連立方程式を解くとｘ、ｙが求められます。

計算してみて下さい。

お礼

ご回答ありがとうございます。
丁寧な解説で非常にありがたいです。

補足

f(x)＝X＾3-3X＾2+ax＋b＝（ｘ＋１）（ｘ＋２）Ｑ（ｘ）＋（５ｘ－３）とおくと、
ここまではいいのですが
なぜここから以下の式が出てくるのでしょうか？
ｆ（－１）＝・・・
ｆ（－２）＝・・・

回答No.1

mizutaki5654

>X＾3　-3X＾2　+ax b
x^3-3x^2+ax+bじゃないですか？

(1)
X＾3　-3X＾2　+ax+b を x^2 +3x +2 で割った商をP(x)とでもおくと、
x^3-3x^2+ax+b=(x^2+3x+2)P(x)+5x-3
=(x+1)(x+2)P(x)+5x-3
という式が成り立つ。
この式にx=-1を入れると(x+1)(x+2)P(x)=0×1×P(-1)=0となることに注意すれば
-1-3-a+b=-8
同様にx=-2を入れると
-8-12-2a+b=-13
という式が得られる。
これを整理すると
-a+b=-4
-2a+b=7
という二つの式が得られ、この連立方程式を解くとa,bが求まります。

(2)
式を変形すると
(3x+4y)n+(2x+y)=10n-3
とできますね。右辺と左辺を比べると、nの係数に注意して、
3x+4y=10
2x+y=-3
となれば良いことがわかりますね。
後はこの連立方程式を解くとx,yが求まります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
なるほど～そうやって解けばいいんですね。