高2数学 式の計算

質問

「良問プラチカ」という参考書を使っていて、その第四問の解答に
次のような計算の過程が記されていました。

[1] (x+y)*2 = {a-(x+y)}*2 + {1-(x+y)}*2
[2] (x+y)*2 - 2(a+1)(x+y) + a*2 + 1 = 0
[3] ∴ x+y = a + 1 ± √(a+1)*2-(a*2+1);
[4] 　　　　 = a + 1 ± √2a;
※便宜上、n乗は*nと表記し、√の範囲は;までとします。

[1]の式から[2]の式へと変形する際にいったいどのようなことが
行われているのでしょうか?
また、[2]から[3]への変化もよくわかりません。
あまり数学の得意でない文系にもわかるレベルで教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

leap_day · ベストアンサー

こんにちは

[1]から[2]は式を展開してそれをまとめています

[1] (x+y)*2 ={a-(x+y)}*2 + {1-(x+y)}*2
(x+y)*2 = { a*2 - 2a(x+y) + (x+y)*2 } + { 1*2 -2(x+y) + (x+y)*2 }

左辺を右辺に移項して

a*2 - 2a(x+y) + (x+y)*2 + 1 -2(x+y) +(x+y)*2 - (x+y)*2 = 0
(x+y)*2 -2a(x+y) -2(x+y) + a*2 +1 = 0

-2a(x+y) -2(x+y) を-2(x+y)　でまとめて

(x+y)*2 -2(x+y)(a+1) + (a*2+1) = 0

[2]から[3]

aX*2 + 2bX + c = 0 の解は解の公式を使って
X = -b ± √(b*2 - ac);
で求められますので
(x+y) を X と見なして同じように解の公式を使うと
a = 1 , b = -(a+1) , c = (a*2+1) となりますので

x+y = -{-(a+1)} ±√[ {-(a+1)}*2 - 1(a*2+1) ];
= a+1 ±√{ a*2 + 2a + 1 - a*2 -1};
= a+1 ±√(2a);

二乗、ルートはそちらの書き方に沿っています

お礼

迅速、丁寧な回答ありがとうございます。
それだけ長いプロセスを省略してあったのですね…
おかげで疑問が完全に解決しました、本当にありがとうございます。
数学に関して全く手も足も出ない自分にとって、尊敬する限りです。

計算式の表記方法ですが、お手数をかけて申し訳ございません。
察するに、やはりPCではPCなりの数式の記述方法があるのですね。
勉強不足でした。次回もし質問させていただく時がありましたら
そちらに従わせていただきます。

ありがとうございました!

回答No.2

sanori

こんばんは。

＞＞＞※便宜上、n乗は*nと表記し、√の範囲は;までとします。

それだとあまりよくないので、ｎ乗は、^n　と表記します。

[1] (x+y)^2 = {a-(x+y)}^2 + {1-(x+y)}^2

計算を簡単にするため、z = x+y と置きます。
z^2 = {a-z}^2 + {1-z}^2

かっこの２乗を展開
z^2 = a^2 - 2az + z^2 + 1 - 2z + z^2
右辺と左辺をひっくり返して
a^2 - 2az + z^2 + 1 - 2z + z^2 = z^2
両辺から z^2 を引き算して　（いわゆる「移項」）
a^2 - 2az + z^2 + 1 - 2z + z^2 - z^2 = 0
z について整理して、
z^2 + (-2a - 2)z + a^2 + 1 = 0
(-2a - 2) を－２でくくれば、
z^2 - 2(a + 1)z + a^2 + 1 = 0
z を元の姿（x+y）に戻せば
　↓
[2] (x+y)^2 - 2(a+1)(x+y) + a^2 + 1 = 0

再び z に戻して
z^2 - 2(a + 1)z + a^2 + 1 = 0
z^2 - 2(a + 1)z + (a^2 + 1) = 0

ここで、二次方程式の解の公式を使えば
z = ２分の１×［2(a + 1) ± √[ {2(a+1)^2} - 4(a^2+1) }　］
　＝　 ２分の１×［2(a + 1) ± √{ 4(a+1)^2 - 4(a^2+1) }　］

ルートの中に共通因数４があるので、２を外に出せる
　＝　２分の１×［2(a + 1) ± ２・√{ (a+1)^2 - (a^2+1) }　］
　＝　(a + 1) ± √{ (a+1)^2 - (a^2+1) }

ルートの中を計算
　＝　(a + 1) ± √{ (a^2 + 2a + 1) - (a^2 + 1) }
　＝　(a + 1) ± √(2a)
　（　＝　ｚ　＝　ｘ＋ｙ　）

お礼

No1さんと同様、迅速で丁寧な回答ありがとうございます。
zに置き換えて考えるととてもわかりやすいですね。
無知蒙昧?な自分でもお二人のお陰で
簡単に理解することができました。
こうやって(なるべくなら自分の力で)ひとつひとつ疑問を解決して、
来年の受験に臨んでいきたいと思います。

ありがとうございましたっ