電気回路(交流定常解析)の問題が解けません

質問

下の交流回路についての問題で解が導けなくて困っています。

[問題]

図の回路において、Voなる交流電圧を印加して、直列インピーダンス Z_i=r+jx を通して、
誘導負荷 Z_L=R_L+jX_L に電力を供給するとき、誘導負荷の消費電力を最大にする抵抗Rの

値を求めよ。誘導負荷は抵抗Rと誘導リアクタンスXを並列に接続したものであり、Rは可変

である。

　誘導負荷Z_Lは、
Z_L=R_L+jX_L=RX^(2)/(R^(2)+X^(2))+jR^(2)X/(R^(2)+X^(2))

{R_L=RX^(2)/(R^(2)+X^(2)) , X_L=R^(2)X/(R^(2)+X^(2))}

となるので、R_L=r から Rの値を求めようとしましたが、答えとは違っていました。

ちなみに答えは、

R=(X(r^(2)+x^(2))^(1/2))/((r^(2)+(x+X)^(2))^(1/2))

となります。

答えをどのように導くのか、導出過程を教えてください。
宜しくお願いします。

回答No.2

FT56F001

テブナンを使っても少し簡単になるだけなので，
シコシコ計算してみます。

dot{I}=V0/(r+jx+(jX//R))
|I|=|dot{I}|
Rに分流する電流の大きさ=|I|*X/sqrt{R^2+X^2}
Rの消費電力P=(|I|*X/sqrt{R^2+X^2})^2*R
でRを変えて，Pを最大にする。

|I|=V0*|1/(r+jx+(jX*R/(R+jX))|
=V0*|(R+jX)/{(r+jx)(R+jX)+jXR}|
=V0*sqrt[(R^2+X^2)/{(rR-xX)^2+(xR+rX+XR)^2}]
=V0*sqrt[(R^2+X^2)/{(rR)^2+(xX)^2+(xR)^2+(rX)^2+2XR(xR+rX)+(XR)^2}]

P=V0^2*X^2/{R^2+X^2}*R*[(R^2+X^2)/{(rR)^2+(xX)^2+(xR)^2+(rX)^2+2XR(xR+rX)+(XR)^2}]
=V0^2*X^2*R*[1/{(rR)^2+(xX)^2+(xR)^2+(rX)^2+2XR(xR+rX)+(XR)^2}]
=V0^2*X^2/{r^2*R+(xX)^2/R+x^2*R+(rX)^2/R+2X(xR+rX)+X^2*R}
=V0^2*X^2/{(r^2+x^2+X^2+2Xx)*R+((xX)^2+(rX)^2)/R+2rX^2}

Pを最大にするためには分母を最小にすればよい。相加平均≧相乗平均より
(r^2+x^2+X^2+2Xx)*R+((xX)^2+(rX)^2)/R+2rX^2
≧2sqrt{(r^2+x^2+X^2+2Xx)((xX)^2+(rX)^2)}+2rX^2，
等号成立は(r^2+x^2+X^2+2Xx)*R=((xX)^2+(rX)^2)/Rのとき。
よってR^2=((xX)^2+(rX)^2)/(r^2+x^2+X^2+2Xx)
=X^2(x^2+r^2)/(r^2+(x+X)^2)
R=X*sqrt{(x^2+r^2)/(r^2+(x+X)^2)}

お礼

回答ありがとうございました。

負荷の抵抗Rにおける消費電力(負荷側における実効電力)のみに着目すれば、良かったんですね。
計算し直したところ、正しい解答に導くことができました。

回答No.1

ryou4649

この手の最大電力の問題は、テブナン定理を応用すれば簡単に解けます。

けれど、この問題はその後の計算が大変でした。

とても、キー入力できないので、画像添付します。

お礼

回答していただいて有難うございます。
最大電力を求める問題でテブナンの定理を活用して解く考え方は、
自分は思いつかなかったので、大変参考になりました。

ただ、この問題は、テブナンの定理の記述のある章より前の章の章末問題のなかにあった問題でしたのでテブナンの定理を使わないで普通に、負荷における複素電力を求めて、その実部が最小になるようRの値を決めるという解法のほうが解答としては一般的なんでしょうか。