確率密度関数の過去の事象との独立性

質問

確率密度関数を用いる問題について教えてください。

国家公務員1種　旧・理工系Iの工学に関する基礎に出題された問題２つについて質問です。

まず、Ｈ17年の問題で

ある地域では平均すると25年に一度異常気象が発生する。異常気象の発生した年からx年以内に次の異常気象の発生する確率F(x)は

F(x)=∫{exp(-t/25)/25}dx　（※∫は区間0からxの積分）

と表される。この地域で最後に異常気象の発生した年から5年間異常気象が発生していないとき、今後5年以内に異常気象が発生する確率はおよそいくらか。

という問題があります。
ある参考書では、過去に異常気象が起きたことと現在の事象は独立であるとして、F(5)の計算結果が解答となっていました。

一方、H14年に

ある人の通話時間x分は平均が5分となる指数分布に従うとする。いまその人が電話をし始めてから5分経過したとき、そのあと5分以内に話し終わる確率はいくらか

という問題があります。これも過去に5分話したこととは独立に考え、0から5分の積分で確率を求めるようです。

私は最初、この問題を条件付き確率で解いてしまいました。
異常気象が過去に関係なく独立になるという解説を「なんとなく」理解できました。

しかし、「話し始めてから5分以内に話し終わる確率」と「5分話してから5分以内に話終わる確率」が同じというのは日常生活で想像すると釈然としません。

指数分布に従うという部分がミソだと思うのですが、なぜ過去の事象から独立として計算できるのか解説していただけませんか？

また、問題の条件によっては「話し始めてから5分以内に話し終わる確率」と「5分話してから5分以内に話終わる確率」が違う場合もあるかと思います。
どういう仮定条件があるときに、この２つの確率が違う値になるかの分かれ目も教えていただけると助かります。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

気づかれた通りで, 「指数分布」がすべてです.

当然ですが「条件付き確率として計算してはいけない」などということは全くありません.

補足

調べてみたところ、指数分布と幾何分布は無記憶性をもつということを知りました。

どちらの問題もt=0以降しか確率の計算結果に影響しない。
よって何年後、何分後の未来だろうが、その時点でt=0とおいて考えてよいということでしょうか？

＞「条件付き確率として計算してはいけない」などということは全くありません

指数分布でも条件付きで計算してもよいということですか？

例えば、2つ目の問題の場合、私は

「答え＝（区間t=5から10の確率）/（区間t=0から5の確率）」

と計算したのですが、これでもよいのでしょうか？

（この結果は選択肢にありませんでした。）

回答No.3

alice_44

指数分布は過去と独立だ…というより、
過去と独立な分布は指数分布なんですよ。

電話が x 分以上続く確率を G(x) と置くと、
x 分続いて、その h 分後までに終わる確率は
G(x)-G(x+h) です。
よって、x 分続いたという条件下に
あと h 分以内で終わる条件つき確率は、
(G(x)-G(x+h))/G(x) となります。

この値が、h のみで決まり、x に依らないと
仮定して、G を計算してみましょう。
式を h で割ってから、h→0 の極限をとれば、
-G'(x)/G(x) の値も x に依らないことが判ります。
-G'(x)/G(x)=λ と置いて、x で積分すれば、
G(x)=C(eの-λx乗) と解けます。
積分定数 C を G(0)=1 から決めれば完了です。

これは、指数分布ですね？

お礼

なるほど。とても勉強になりました。
ただ答えを教えていただくだけでなく、考える機会をくださってありがとうございます。

回答No.2

Tacosan

指数分布や幾何分布に限って言えば「無記憶性を持つ」ので (過去のことは無視して) 今の時点を t=0 として考えていい, ってことですね.

でその条件付き確率の計算だけど.... う～ん.... なんというか, 記号で書いてしまったために「それでいいかどうかが判断できなくなってしまっている」ような気がするなぁ....

定積分によって直接求まるのは「○分までに話し終わる確率」とか「○分から×分までに話し終わる確率」, あるいは「○分たってもまだ話をしている確率」などですよね. これらの表現を使って「区間t=5から10の確率」とか「区間t=0から5の確率」を書きなおしてみれば「おかしな計算をしている」ことがわかると思います.