数学II・B 高次方程式 解答解説して頂きたいです

質問

f(x)=x^3-3x+1 とおき, 3次方程式 f(x)=0 の解の1つをαとする。
(1) f(α^2 -2) の値を求めよ。
(2) 2次方程式 x^2-ax+1=0 の解の1つをβとするとき (β^3)+(β^-3) の値を求めよ。

ちなみに(1)は解けたかもしれません。
f(α)=α^3-3α+1=0・・・☆ となるので, {f(α)}^2=0
したがって f(α^2 -2)-{f(α)}^2 を計算すると -2(α^3-3α+1) となり
☆より f(α^2 -2)-{f(α)}^2=f(α^2 -2) =0
でもこの解き方はまともな解き方なのでしょうか？
もっと普通に解く方法があったりしないでしょうか？
このことも併せて回答頂けると嬉しいです。

回答No.1

151A48 · ベストアンサー

（２）あなたの解き方でも間違えではありませんよ。
α^3 =3α-1 を次数下げにつかいます。α^2=(3α-1)/α　∴α^2 -2=(α-1)/α　として代入するのも１つの手でしょう。

（２）　（１）と関係ないみたいですね。
β^2-aβ+1=0 より　a=β＋(1/β)
β^3 + ( β^-3 )=(β+1/β)^3 -3(β+1/β)=a^3 -3a