p2(t)=p2^ + z2への分解

質問

Let P3 have 'the inner product given by evaluation at -3, -1, 1 and 3', let p0(t)=1, p1(t)=t and p2(t)=t^2.
Decompose p2(t)=p2^ + z2, p2^⊥z2, p2^ is the orthogonal projection of p2(t) onto the subspace W=Span{p0(t), p1(t)}.

P3が-3, -1, 1, 3の評価を与えられた内積を持っているとし、p0(t)=1, p1(t)=t and p2(t)=t^2とする。
p2(t)が部分空間(W=Span{p0(t), p1(t)})上のp2(t)の正射影であり、p2^とz2が直交しているとき、
p2(t)をp2^ + z2の形に分解しなさい。
(すみません、今回訳すのちょっと難しいです。)

解答は

p2^(t) = 5
z2 = t^2 - 5

になっています。
でもどうやってその「5」が出てきたのか分かりません。
本当にこの解答で合っているのでしょうか?
私が思いついた方法は以下の通りです。

　　　　　　　　　　p2(t)・p0(t)　　　　　p2(t)・p1(t)
p2^(t) = p2(t) - ------------p0(t) - ------------p1(t)
　　　　　　　　　　p0(t)・p0(t)　　　　　p1(t)・p1(t)

　　　　[ 4]
　　　=[-4]
　　　　[-4]
　　　　[ 4]

z2 = p2(t) - p2^(t)

　　　　[9]　　[ 4] [5]
　　　=[1]　-　[-4]=[5]
　　　　[1]　　[-4] [5]
　　　　[9]　　[ 4] [5]

||z2||=10

これって「10」が正解じゃないでしょうか…全然自信ないですけど。
12時間後に期末試験があるので
日本時間で深夜0時までに回答を頂きたいです。
どうかよろしくお願いします。

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

まず、ベクトルaのベクトルb方向への射影は
　(a,b)b/|b|^2
であることを思い起こしましょう。内積を計算してみると、
　(p2,p0)=9・1 + 1・1 + 1・1 + 9・1 = 20
　(p2,p1)=9・(-3) + 1・(-1) + 1・1 + 9・3 = 0
　(p0,p0)=1・1 + 1・1 + 1・1 + 1・1 = 4
したがって、p2のp1方向の射影は0で、p0方向の射影は
　(p2,p0)p0/|p0|^2 = 20/4 = 5
よって、
p2^(t) = 5
z2 = t^2 - 5

お礼

あっ、その式を使うんでしたか。
…私の思いつきは大はずれでしたね。

これから試験です。
grothendieckさんの回答をしっかり頭に叩き込んで
悔いの残らないように頑張ります。
(「深夜0時まで」もちゃんと守って下さって)
ありがとうございました!