数学

質問

解答解説お願いしたいです！
（１）z=(1+i)w/√2
（２）0<p<1/(2√2)
（３）p=1/4
となります

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回答No.2

jcpmutura · ベストアンサー

pを正の定数とする.
Oを原点とする複素数平面上で,等式
|z|=p{(1-i)z+(1+i)z~}+1…(*)
を満たす点z全体から成る曲線をEとする.
(1)点zを原点Oを中心として-π/4だけ回転した点をwとする.
w=ze^{-iπ/4}
z=we^{iπ/4}
z=w{cos(π/4)+isin(π/4)}
z=(1+i)w/√2

(2)
(1)において,点zがE上を動くときの点wの軌跡が楕円となるとき
|(1+i)w/√2|
=p{(1-i)(1+i)w/√2+(1+i)(1-i)w~/√2}+1
=p(w+w~)√2+1

|(1+i)w/√2|=|p(w+w~)√2+1|
|(1+i)w/√2|^2=|p(w+w~)√2+1|^2
{(1+i)w/√2}{(1-i)w~/√2}=2p^2(w+w~)^2+1+2p(w+w~)√2
ww~=2p^2(w+w~)^2+1+2p(w+w~)√2
w=x+iyとすると
x^2+y^2=8p^2x^2+4px√2+1
(1-8p^2)x^2-4px√2+y^2=1
x^2-4px√2/(1-8p^2)+y^2/(1-8p^2)=1/(1-8p^2)
{x-2p√2/(1-8p^2)}^2+y^2/(1-8p^2)=1/(1-8p^2)^2
(1-8p^2)^2{x-(2√2)p/(1-8p^2)}^2+y^2(1-8p^2)=1…(2)
1-8p^2>0の時
O=(2√2)p/(1-8p^2)
a=1/(1-8p^2)
b=1/√(1-8p^2)
とすると(2)は
{(x-O)/a}^2+(y/b)^2=1
となって
中心O,x半径a,y半径b
の楕円となるから
8p^2-1<0
p^2<1/8
↓p>0だから
0<p<1/(2√2)

(3)
pが(2)で求めた範囲にあるとき,
Eの焦点の1つが点
2+2i
となる時
z=2+2i=2(1+i)
w=ze^{-iπ/4}
w=z(1-i)/√2
w=2(1+i)(1-i)/√2
w=2√2
点wの軌跡(楕円)の焦点をO+cとすると
O+c=2√2
O=(2√2)p/(1-8p^2)
a=1/(1-8p^2)
b=1/√(1-8p^2)
c=√(a^2-b^2)
=√{1/(1-8p^2)^2-1/(1-8p^2)}
=(2√2)p/(1-8p^2)
だから
O+c=(4√2)p/(1-8p^2)
↓O+c=2√2だから
(4√2)p/(1-8p^2)=2√2
↓両辺に(1-8p^2)/(2√2)をかけると
2p=1-8p^2
↓両辺に8p^2-1を加えると
8p^2+2p-1=0
(2p+1)(4p-1)=0
↓p>0だから
↓2p+1>0だから
↓両辺を2p+1で割ると
4p-1=0
↓両辺に1を加えると
4p=1
↓両辺を4で割ると
p=1/4

回答No.1

nanashisan_

(1)wをπ/4回転したらzになる。