Vが2×2対称行列全体なら(x,y,z)はVのある基底に関しての成分である事を示せ
よろしくお願い致します。
LetV be a finite dimensional space over the field K. Let g=<,> be a scalar product on V. By the quadratic form determined by g, we shall mean the function
f:V→K such that f(v)=g(v,v)=<v,v>.
と二次形式の説明があります。
fが二次形式とはg:V×V→Kがありf:V→KをV∋∀x→f(x):=g(x,x)と定義すると,
fはgの二次形式であるとか言ったりするのでしょうか?
それで次の問題を解きたいのですが、、、
[problem] Let V be the vector space over R of 2×2 real symmetric matrices.
(1) Given a symmetric matrix A=
x,y
y,z.
Show that (x,y,z) are the coordinates of A with respect to some basis of the vector space of all 2×2 symmetric matrices. Which basis?
(2) Let f(A)=xz-yy=xz-y^2.
If we view (x,y,z) as the coordinates of A then we see that f is a quadratic form on V. Note that f(A) is the determinant of A,which could be defined here ad foc in a simple way.
Let W be the subspace of V consisting of all A such that tr(A)=0.
Show that for A∈W and A≠O we have f(A)<0. This means that the quadratic form is negative define on W.
negative defineとは∀v∈Vに対して<v,v>≦0そしてv≠Oなら<v,v><0というものです。
(1)については
V:={A;Aは対称行列}とする。Aは変数が3つなので
{(x,y,z)∈R^3;x,y,z∈R}={(x,y,z)∈R^3;M}
(但しMは行列
x,y
y,z
の事)
従って,(x,y,z)は全ての2×2対称行列のある基底に関しての成分を表している。
、、、とこんな解答でいいのでしょうか?
Which basis?は「何が基底?」という意味でしょうか。
Vの基底として{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}が採れると思います。
(2)については
W:={A∈V;tr(A)=0,A is symmetric}で
O≠∀A∈Wに対しtr(A)=0よりx+z=0.よってf(A)=xz-y2=-x2-y2<0 (∵A≠O).
としてみたのですがこれもこんな解答でいいのでしょうか?
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お礼
「射影」・「直交射影」についていろいろ調べてみたところ、 なんとなくではありますが、理解できました。 迅速なご回答、ありがとうございました。