二次不等式について

質問

-1＜x＜3の範囲でx^2-4ax+2a+6＞0が常に成り立つようなaの範囲を求めよ

という問題なのですが、全くわかりません…常に成り立つ、つまりxの解の一つが-1より大きく3未満なのでしょうが…
解説お願いします

回答No.2

dreamfighter · ベストアンサー

軸がaの範囲で変わるので軸の位置で場合分けが必要。

略解
f(x)=（左辺）とする。軸の方程式はx=2a。y=f(x)は下に凸の２次関数。

（１）-1＜2a＜3のとき。f(2a)>0。よって・・・・

（２）2a≦-1または2a≧3のとき。f(-1)≧0,f(3)≧0よって・・・・

（１）（２）より・・・・

ひとまずこれで考えてみましょう。前にやった解の配置の時と同じ考え方です。

お礼

-1＜2a＜3のとき。f(2a)>0などはどうしてこうなるのですか？
例えば-1＜2a＜3のとき、f(2a)が-1/2にあってもいいのではないですか？

回答No.8

dreamfighter

>>書いてあるのですか？どの文のことでしょうか

略解
f(x)=（左辺）とする。軸の方程式はx=2a。y=f(x)は下に凸の２次関数。

（１）-1＜2a＜3のとき。f(2a)>0。

なんでこうならなければいけないかは、#4の図の通り。

お礼

ようやくわかりました ありがとうございました

回答No.7

noname#158987

回答者Ｎｏ．３，Ｎｏ．６です
細かいですが、ちょっと間違えました。

３の(1)の解説で、

そして、-1＜x＜3の範囲でx^2-4ax+2a+6＞0が常に成り立つために、
f(-1)≧0

３の(2)の解説で、

そして、-1＜x＜3の範囲でx^2-4ax+2a+6＞0が常に成り立つために、
f(3)≧0

どちらもＸの範囲にイコールがついていないからです。

お礼

了解です

回答No.6

noname#158987

＞つまりどう式を立てるのですか？

f(x)= x^2-4ax+2a+6 = (x-2a)^2 -4a^2 +2a +6
から、この２次関数の最も低い点である頂点の座標は(2a, -4a^2 +2a +6)
となる。

１．共有点を持たない場合→常に　与式＞０
頂点がＸ軸と交わらないので、頂点のＹ座標が０より大きいことを意味する。
-4a^2 +2a +6＞０

２．接点を持つ場合（頂点で持つ）→その接点が x≦-1、3≦x　なら　与式＞０
接点を持つ場合、その接点（頂点です）は-1＜x＜3の中にあってはいけない。
あると、その接点でx^2-4ax+2a+6=0になるためである。

その接点が x≦-1、3≦x　なら　与式＞０
まず、接する条件として、
-4a^2 +2a +6＝０
かつ、頂点がx≦-1、3≦xの位置にあるための条件として、
2a≦-1または3≦2a
これらを満たすように計算してください。

３．２つの交点を持つ場合

３の(1)
x^2-4ax+2a+6が　-1＜x＜3の左にある場合は、二つの交点のうち
大きいほうのｘ値が　－１以下であることが条件。

交点を持つ条件として、
-4a^2 +2a +6＜０

頂点のＸ座標が-1より小さくないと条件を満たせないので、
2a<-1
そして、-1＜x＜3の範囲でx^2-4ax+2a+6＞0が常に成り立つために、
f(-1)>0

３の(2)
→x^2-4ax+2a+6が　-1＜x＜3の右にある場合は、二つの交点のうち
小さいほうのｘ値が　３以上であることが条件。

交点を持つ条件として、
-4a^2 +2a +6＜０

頂点のＸ座標が3より大きくないと条件を満たせないので、
2a>3

そして、-1＜x＜3の範囲でx^2-4ax+2a+6＞0が常に成り立つために、
f(3)>0

それぞれ４つの場合分け（１，　２，　３の(1)，　３の(2)）それぞれを計算してくださいね。
とにかく、グラフを描いてイメージすること。
そうすれば、「これでは条件に合わないな。」とか試行錯誤できるので。

お礼

ありがとうございます！

回答No.5

dreamfighter

＞＞その2aと3の間にy軸が入れば-1/2とかになってf(2a)＜0になりませんか？

だからそれを防ぐのにf(2a)>0にするんだよ。＃２で書いたでしょ。

お礼

書いてあるのですか？どの文のことでしょうか

回答No.4

dreamfighter

>>例えば-1＜2a＜3のとき、f(2a)が-1/2にあってもいいのではないですか？

Σ(゜д゜;)え？？

こうなればいい。（へたくそでごめん！！）

お礼

その2aと3の間にy軸が入れば-1/2とかになってf(2a)＜0になりませんか？

回答No.3

noname#158987

x^2-4ax+2a+6
のグラフと
Ｘ軸と
-1＜x＜3の範囲を
を描いて考えましょう。
イメージが大事です。

x^2の係数が＋なので下に凸のグラフになりますね。
その上で、Ｘ軸と共有点（接点、または交点）をどう持つか
場合分けした上で考えるのです。

１．共有点を持たない場合→常に　与式＞０

２．接点を持つ場合（頂点で持つ）→その接点が x≦-1、3≦x　なら　与式＞０

３．２つの交点を持つ場合
→x^2-4ax+2a+6が　-1＜x＜3の左にある場合は、二つの交点のうち
大きいほうのｘ値が　－１以下であることが条件。
→x^2-4ax+2a+6が　-1＜x＜3の右にある場合は、二つの交点のうち
小さいほうのｘ値が　３以上であることが条件。

ちなみに、
＞つまりxの解の一つが-1より大きく3未満
これでは、ｘ軸と交わってしまうので、
片側は負、もう片側は正になり、
常に　与式＞０　が成り立ちません。

お礼

ああ、そもそもx軸と共通点はいらないのですね
不等式なのにf(x)=0と混同していました…
ありがとうございます

つまりどう式を立てるのですか？

回答No.1

naniwacchi

またまた、こんにちわ。

解で考えるよりも、グラフで考えた方がわかりやすいかと。

「-1＜ x＜ 3の区間で、y＝ x^2- 4ax+ 2a+ 6のグラフは
x軸に対してどういう位置にあればいいですか？」

お礼

どういう位置にあればいいのでしょうか…