非慣性系で

質問

はじめまして。

今回お聞きしたいのは画像の問７の問題についてなのですが、
解答には小球が最高点に達するのは、小球と台車Aの速度が同じになると考え、運動量保存でその速度求め、慣性系でエネルギー保存を用い求めていました。

対して私は衝突後の相対速度を求め、非慣性系で小球の速度が０になる時が最高点と考えエネルギー保存を用いたのですが、答えが解答とずれてしまいました。
結果としては解答より最高点が高くなってしまったのですが、今回非慣性系で求めることができなかった原因は何でしょうか？

どなたか分かるかた、ご教授お願いいたします。

回答No.2

heboiboro · ベストアンサー

台車Aとともに動く非慣性系で考えたら答えが合わなかったということですよね。
これがうまくいかなかった理由は、端的に言えば、非慣性系だからです。

非慣性系では、運動方程式に-mαの形の補正項が付くことはご存知だと思います。
数式上はこれが外力と同じような役割になるので、エネルギー保存則が成り立ちません。
よって、非慣性系でエネルギー保存則を使うことは（一般には）できません。

代わりの方法として、おもりと台車Aを合わせた系の重心とともに動く慣性系を利用する方法があります。
台車A+おもり の系は衝突後には外力を受けないのでこの系の重心は等速直線運動し, よってこの重心とともに動く系は慣性系となります。

おもりが最高点に達したとき、おもりと台車Aの速度は等しいのですから、重心の速度もそれに等しいですよね。
ですから、重心系から見ると、おもりが最高点に達したとき、おもりも台車Aも速度ゼロです。

衝突直後の静止系から見たおもりの速さをv、台車Aの速さをVとします。
重心速度をuとおくと、u=(mv+MV)/(m+M) です。
これより、重心系でのエネルギー保存則は、
m(v-u)^2/2 + M(V-u)^2/2 = mgh
となります。これを頑張って式変形すると、h=M(v-V)^2/(m+M)/g となると思います。

お礼

返事が遅れて申し訳ありません。

なるほど、確かに非慣性系でエネルギー保存を使用するのを見たことがないです。
重心系で考えたら非常によく分かりました。
自分でも少しあやふやな部分がありましたので、よい確認になりました。

回答ありがとうございました。

回答No.1

WiredLogic

すみません。問題がちょっと読みにくいところがあるので
(私の老眼のせいもありますが^^)、
勝手に設定して(大筋は外してないと思いますが)考えてみます。

この質量比や反発係数では、

衝突後、台車Aは、速度V(＞0)で右に動き出し、
重りは、そのとき、台車Aに対して、
相対速度v(＞V＞0)で右に動き出す、

質問者さんは、
(1/2)mv^2 = mgh で、最高点の高さを求めた、

しかし、解答では、
(1/2)m(v-V)^2 - (1/2)mV^2 = mgh で、求めて
いたので、
(1/2)m{(v-V)^2 - V^2} = (1/2)m(v^2 - 2vV)から、
mvV/(mg) 分の高さの違いが出てきた、

ということでいいんですよね。

これが、運動量で云々…という話だと、
速度はその１乗でしか効いてこないので、
相対速度で考えても、何の問題も起こりませんが、

運動エネルギーの話だと、
速度はその２乗で効いてくるので、
相対速度で考えるのと、
絶対速度で考えるのでは、
上のような違いが出てくる、
運動エネルギーは、絶対速度で
考えないといけない、

のが問題点かと思います。

台車Aが衝突後、跳ね返って左方向へ動く場合は、
速度-V(右向きに)として、
(1/2)mv^2 と (1/2)m(v+V)^2 - (1/2)mV^2
の違いですから、逆に、質問者さんの答が、
解答より低くなる、ということになります。

お礼

返事が遅くなって申し訳ありません。

改めてよく考え直してみると間違いが理解できました。
回答ありがとうございました。