変数分離形の微分方程式の変形

質問

dy/dx=2x(1-y^2)という微分方程式があるのですが、部分分数分解の形にするときに差の形にするのか和の形にするのか、それともどちらも正解なのでしょうか・・・。
和の形にした方が簡単な気はするのですが、答えが変わってくるので質問しました。
解説よろしくお願いします。

回答No.1

FT56F001 · ベストアンサー

1/(1-y^2)=(1/2)*{(1/(1+y))+(1/(1-y))}としか部分分数分解できないと思うのだけど，
「差の形にする」とはどう計算したのですか?
(1/2)*{(1/(y+1))-(1/(y-1))}
としたのなら，答はまったく同じです。

お礼

ありがとうございます。助かりました。

回答No.5

alice_44

＞ (-1)を前に出してlog内を分数の形にせず(1-y^2)の形にしてました…

それって、
{ (-1)log|1-y| + log|1+y| } = (-1){ log|1-y| + log|1+y| } = (-1)log|1-y^2|
とやったってことですかね。
だとしたら、微分方程式以前の、高校数学I の間違いです。
(-1) を括り出すなら、
{ (-1)log|1-y| + log|1+y| } = (-1){ log|1-y| - log|1+y| }
ですよ。括り出す意味も特にないけれど。

お礼

勘違いをしていました。

回答No.4

FT56F001

(-1)log|1-y| + log|1+y|
=log{|1-y|^(-1)}+log|1+y|
=log{1/|1-y|}+log|1+y|
=log|(1+y)/(1-y)|
ですよ。
どうしたら，log|1-y^2|=log|1-y|+log|1+y|になるのかしら??

補足

log|1-y^2|=log|(1-y)(1+y)|=log|1-y|+log|1+y|

としてました・・・。でも間違いなんですよね・・・？＞＜

回答No.3

Tacosan

「下の方で、(-1)を前に出してlog内を分数の形にせず(1-y^2)の形にしてました」ってのは, 具体的にはどのように計算を進めていったんでしょうか?

補足

log│1-y^2│=-2x^2+C

として計算をしました。間違いでしょうか？

回答No.2

WiredLogic

どちらでも、構いません。

結果が、見た目は違うことになっていても、
ちゃんと調べれば、実は同じ、になっているはずです。

もし、本当に違ってたら、多分、どっちかの計算ミスでしょう。

ちょっとやってみますと、

dy/{(1-y)(1+y)} = 2xdx

右辺が、∫2xdx = x^2 + C になるのは問題ないでしょうから、

問題は、左辺ですよね。

dy(1/2){1/(y+1) - 1/(y-1)} にすると、積分して、(1/2){log|y+1| - log|y-1|}、
dy(1/2){1/(1-y) + 1/(1+y)} にすると、積分して、(1/2){(-1)log|1-y| + log|1+y|}、
と同じになりますよね。

あ、下の{}内の(-1)を忘れた、とかがありそうなミスかな？

お礼

ありがとうございます！

補足

下の方で、(-1)を前に出してlog内を分数の形にせず(1-y^2)の形にしてました・・・。

この考えは間違いでしょうか？＞＜