確率を求めてください…。

質問

画像に、問題と僕の解答をのせました(*_*)
なにが間違っているのか教えてください,,
お願いします…。

※問題には極限値を求めろとありますが、
確率Pnを求める段階で間違ってしまったので、
問題文はPnの求値までを読んでください(;_;)

回答No.1

151A48 · ベストアンサー

各ボールがどの箱に入る確率も等しい 1/2n　という確率の問題ですから，ボールに区別をつけないといけないのでは？箱の選び方だけではだめだと思います。
Ａ，Ｂ，Ｃ３つのボールを箱Ｎｏ．１～６に入れるとすると，例えば（１，１，１）と（１，２，３）では，前のはＡ，Ｂ，Ｃの入り方は１通りですが，後ろのは６通りあることになり，同様に確からしくなりません。
分母は (2n)^n ，分子は 2nCn ・(n ! )

回答No.2

WiredLogic

n個のボールに、１つずつ、箱の番号を書いて
いくことを考えると解りやすいと思います。

まず、分母の方、全事象ですが、

ボールNo.1に書けるのは、箱No.1～2n の2n通り、
ボールNo.2に書けるのも、2n通り、
…
ボールNo.nに書けるのも、2n通り、と考えると、
(2n)^n 通りになります。

分子の方、どの箱にも1個以下のボールしか
入っていない場合ですが、

ボールNo.1に書けるのは、箱No.1～2n の 2n通り、
ボールNo.2に書けるのは、ボールNo.1に書かなかった(2n-1)通り、
…
ボールNo.nに書けるのは、ボールNo.1～(n-1)に書かなかった(n+1)通り、
と考えると、2n(2n-1)…(n+1)通りです。

よって、

p[n] = 2n(2n-1)…(n+1)/(2n)^n
= {1 - 1/(2n)}{1 - 2/(2n)}…{1 - (n-1)/(2n)}

勢いで、最後までやると、

log(p[n]) = log{1 - (1/2)(1/n)} + log{1 - (1/2)(2/n)} + … + log{1 - (1/2)(n-1)/n}
なので、

lim[n→∞]p[n]/n
= lim[n→∞](1/n)Σ[k=0,n-1]log{1 - (1/2)(k/n)}
= ∫[0,1] log(1 - x/2) dx
= ∫[0,1] (-2)(1-x/2)'*log(1 - x/2) dx
= (-2)[(1-x/2)*log(1-x/2)]_[0,1] + 2∫[0,1](1-x/2){1/(1-x/2)}*(-1/2) dx
= (-2)(1-1/2)*log(1-1/2) - ∫[0,1]dx
= -log(1/2) - [x]_[0,1]
= log(2) - 1