中学 解説

質問

解説をお願いします。

直線y=x+6を軸として△AOBを一回転して得られる回転体の体積を求めよ。

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

AO^2=(2^2)+(4^2)=20
BO^2=(3^2)+(9^2)=90
AB^2=(5^2)+(5^2)=50　→　AB=√50=5√2
ABを底辺とする三角形を考え、点OからABの延長線上に下ろした
垂線の足をPとすると、求める体積は、OPを半径とする高さBPの
円錐の体積からOPを半径とする高さAPの円錐の体積を引いた体積
になるので、まずOPとAPを計算する。
OP^2+AP^2=AO^2=20
　→　OP^2+AP^2=20・・・(ア)
OP^2+BP^2=OP^2+(AB+AP)^2=OP^2+(√(50)+AP)^2=BO^2=90
　→　OP^2+(√(50)+AP)^2=90・・・(イ)
(イ)の両辺から対応する(ア)の両辺を引いて
-AP^2+(√(50)+AP)^2=70
-AP^2+50+2AP√(50)+AP^2=70
2AP√(50)=20　→　AP=10/√(50)　→　AP=√2　→　AP^2=2
(ア)に代入してOP^2=20-AP^2=20-2=18
OPを半径とする高さBPの円錐の体積=(1/3)π(OP^2)BP
=(1/3)π(18)(AB+AP)=6π((5√2)+√2)=(36√2)π・・・(ウ)
OPを半径とする高さAPの円錐の体積=(1/3)π(OP^2)AP
=(1/3)π(18)√2=(6√2)π・・・(エ)
よって求める体積＝(３６√２)πー(６√２)π＝(３０√２)π
となる。

お礼

分かりやすい回答有難うございました。

回答No.2

alice_44

中学生ですか。
積分を使えば楽だけど、使えないなあ。

O から AB に垂線を降ろすか、
余弦定理で cos∠OAB を求めるかすれば、
円錐と円錐を足す問題なのか、
円錐から円錐を引く問題なのかが判りますね。
そこから先は、ビタゴラスの定理と
算数の体積計算です。

お礼

回答有難うございました。

回答No.1

yoshi20a

まず、AとBの座標を求めます。
y=x^2・・・(1)
と
y=x+6・・・(2)
の交点ですから、
x^2=x+6、x^2-x-6=(x-3)(x+2)=0 → x=-2,3
つまり、図にあるように、A;(-2,4)、B;(3,9)です。

次に、原点Oとy=x+6とのキョリaを求めます。
原点Oを通るy=x+6に垂直な直線は、y=-x・・・(3)ですから、(2)と(3)より、その交点Cは、
x+6=-x → 2x=-6 → x=-3、つまり、(-3,3)。
つまる、OC^2=a^2=18・・・(4)

求める立体の体積は、y=x+6周りに△COBを回したものから△COBを回したものを引いて求められます。
CA=1, CB=√61ですので、

a^2π(√61-1)/3=18π(√61-1)/3・・・(解)

計算が間違ってたらゴメンナサイ。