中学数学

質問

中３です 中学数学の問題かいせつお願いします
次の画像のように
放物線
y=ax二乗(a＞0)と直線y=2x＋３が2点A、Bで交わっています。
また直線y=2x＋３とy軸との交点をｃとする。

A(-１、1)
B(３、9)
とする

△ｏABをy軸のまわりに１回転してできる立体の体積を求めよ。
ただし円周率はπとする。

答は25/241πみたいなんです。

回答No.2

yyssaa

直線OBはy=3x、3x=-2x+3の解x=3/5をy=3xに代入すると
y=9/5、x=-3/5をy=2x+3に代入するとy=3-6/5=9/5。
よって直線y=9/5と直線y=3x及び直線y=2x+3との交点を
それぞれD及びEとし、線分DEとy軸との交点をFとすると、
それぞれの座標はD(3/5,9/5)、E(-3/5,9/5)、F(0,9/5)、
すなわちDF=EFとなり、求める体積は□BCFDと□EAOFを
それぞれy軸を中心に回転させて出来る体積の和となる。
□BCFDを回転させて出来る体積は底面の半径3、高さ9の
円錐の体積から、同じく底面の半径3、高さ6の円錐の体
積及び底面の半径3/5、高さ9/5の円錐の体積を引いた値
になるので、
(1/3)*π*3^2*9-(1/3)*π*3^2*6-(1/3)*π*(3/5)^2*9/5
=9π-(27/125)π
又、□EAOFを回転させて出来る体積は底面の半径1、高さ1
の円錐の体積と、同じく底面の半径1、高さ2の円錐の体積
を加えた値から底面の半径3/5、高さ(3-9/5=6/5)の円錐の
体積を引いた値になるので、
(1/3)*π*1^2*1+(1/3)*π*1^2*2-(1/3)*π*(3/5)^2*(6/5)
=π-(18/125)π
よって求める体積は9π-(27/125)π+π-(18/125)π
=(241/25)π・・・答

回答No.1

j-mini27

画像張付の技術がないので、難解ですが言葉だけで説明してみます。

まず、△OABをy軸のまわりに1回転させる場合
　・点A（－1，1）より下の部分………(1)
　・点C（0，3）より上の部分…………(2)
　・その間の部分…………………………(3)
に分けて計算することになります。

(1)の部分は
　OA側の傾きが－1、OB側の傾きが3なので、
　傾きがゆるやかなOA側のみを考えます（OB側はOAの内側に含まれる）。
　この部分はY軸の（0，1）を中心とした半径1、高さ1の下向きの円錐なので
　　1⋇1⋇π⋇1⋇1/3=1/3π
(2)の部分は
　OBを斜辺とする半径3、高さ9の下向きの円錐から
　点Cより下側の半径1、高さ3の下向きの円錐部分を除いて（点Cより下側）
　点Cより上側の半径3、高さ6の下向きの円錐部分を除いて（点Cより上側で線分CBよりy軸側）
　　残った部分と言えます。なので
　3⋇3⋇π⋇9⋇1/3=27π
　1⋇1⋇π⋇3⋇1/3=π
　3⋇3⋇π⋇6⋇1/3=18π
　　27π-π-18π=8π
(3)の部分は
　AB側の傾きが2、OB側の傾きが3ですが、
　両者の傾きがy軸の反対側にあるにも関わらず、両方正の傾きなので
　y軸を中心に回転させた場合y軸の左側、右側ともに交差する関係になります。
　　そして、回転させたときの交差点の座標は(-3/5，9/5)、(3/5，9/5)です。
　交差点のy座標9/5より下側についてはAB側を回転させた部分(OB側は内側)
　　　　　　　 9/5より上側についてはOB側を回転させた部分(AB側は内側)を求めることになります。
　下側は半径1、高さ2の円錐から半径3/5、高さ6/5の円錐部分を除いた部分
　　1⋇1⋇π⋇2⋇1/3-3/5⋇3/5⋇π⋇6/5⋇1/3=2/3π-18/125π=196/375π
　上側は半径1、高さ3の円錐から半径3/5、高さ9/5の円錐部分を除いた部分
　　1⋇1⋇π⋇3⋇1/3-3/5⋇3/5⋇π⋇9/5⋇1/3=π-27/125π=98/125π

　これらの体積を合計すると
　　1/3π+8π+196/375π+98/125π=8+41/25π=241/25π（又は9+16/25π）cm³