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質問

問題
x-y平面上に原点Ｏ、頂点Ａ（2/3,0）,頂点Ｂ（11/12,3）,頂点Ｃ（0,3）があります。
今、点Ｐを辺ＡＢ上にとります。
座標軸の1目もりは1cmと考えてください。

(1)点Ｐを通り、ｙ軸に平行な直線と、Ｘ軸、直線ＢＣ、との交点をそれぞれＤ，Ｅとします。
三角形ＡＤＰをy軸を軸として1回転させてできる立体の体積と、
三角形ＢＥＰをy軸を軸として1回転させてできる立体の体積が等しくなるとき、
点ＰのＸ座標はいくつでしょう？

という問題なのですが、
私は、直線ＡＢの方程式y=12x-8を求め、
点Ｐの座標を(t,12t-8)とおき、
実際に三角形ＡＤＰと、三角形ＢＥＰの回転体の体積を求め、その二つが一致するという方程式を立てて解こうとしました。
しかし、回転体の形が複雑なためか、式が複雑になり、最終的にかなり数値の大きい三次方程式になりとくことができませんでした。
そのため、この問題にはもっと違うアプローチの仕方があると思います。
何かよい解法が分かる方はアドバイスをいただけないでしょうか？

回答No.1

springside · ベストアンサー

y軸回転の回転体の体積は、バームクーヘン分割でやると簡単な場合があります。

P(t,12t-8)とおく。
△ADPの回転体の体積をV1、△BEPの回転体の体積をV2とおくと、

V1=∫(2/3→t)2πx(12x-8)dx
V2=∫(t→11/12)2πx{3-(12x-8)}dx

となり、これを計算すると、

V1=2π(4t^3-4t^2+16/27)
V2=2π{(2×11^3/12^3)-(11/2)t^2+4t^3}

となるので、V1=V2よりtを求めると（うまい具合にt^3の項が消えて）、

t=(√91)/12

となり、これがPのx座標である。
（途中に計算ミスがあったらご容赦下さい）

お礼

そうですね！バームクーヘン方を使って積分すれば簡単でしたね！丁寧な解説をありがとうございます。