集合の濃度を教えてください

質問

W={a+bπ |a,bは有理数}

このWの濃度を教えてください、解説お願いします

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

Qを有理数体とする。

a + bπ = c + dπ (a,b,c,d∈Q)とすれば、a-c = (d-b)π 。d≠bならばπ = (a-c) / (d-b)∈Qとなって矛盾であるゆえ、d=b。従って a=c。
つまり x∈Wに対し、x=a + bπとなる <a,b>∈Q^2 は一意に定まる。

何が言いたいかというと、f: Q^2 → Wを f(<a,b>) = a+bπで定めればこれは全単射である。従って Wの濃度はQ^2の濃度と等しく、従って可算濃度である。