連投になりますが

質問

高校生からの質問の続きです。

実数：a、b、c、x、y、z、p　が次の4つの条件を満たしている。
(1)　a＾2-b＾2-c＾2＞0　(2)　ax+by+cz＝p　(3)　ap＜0　(4)　x＞0
この時、x＾2-y＾2-z＾2　の符号を調べよ。

私の略解。
a≠0だから　(1)より　b＾2＋c＾2＜a＾2　の両辺をa＾2で割って、b/a＝α、c/a＝βとすると、α＾2＋β＾2＜1。
(2)より　p＝ax+ayα+aβz　だから　(3)から　a＾2＞0により　x+yα+βz＜0
よって、αβ平面上で　α＾2＋β＾2＜1、x+yα+βz＜0　を満たす解が存在すればよい。
従って、円の中心の原点と　直線：x+yα+βz＝0との距離が円の半径の1より小さければよい。
点と直線との距離の公式から、｜x｜/√(y＾2+z＾2)＜1　→　x＾2-y＾2-z＾2＜0.

しかし、この発想が難しいらしく、普通の式変形で解けないだろうか？という高校生からの質問が残っています。
検討をお願いいたします。

回答No.2

hrsmmhr · ベストアンサー

ap<0より
a(ax+by+cz)<0
a^2>=0から
x<-(by+cz)/a
x>0より
x^2<(by+cz)^2/a^2

一方
(b^2+c^2)(x^2-y^2-z^2)<{(b^2+c^2)(by+cz)^2/a^2-(b^2+c^2)(y^2+z^2)}
b^2+c^2<a^2なので(b^2+c^2)/a^2<1を考慮すると
<(by+cz)^2-(b^2+c^2)(y^2+z^2)
コーシーシュワルツよりこれは０または負

b^2+c^2>0なので調べる符号は負

お礼

なるほど、私の回答で　x>0　を使ってませんので、それがヒントになるとは思ってました。
納得です。

回答No.1

ringohatimitu

とりあえず問題を簡略化していくことでほとんど計算無に頭の中で済んでしまいましたが間違ってたらすみません。以下方針を。

まずa≠0、x>0より条件式を(a^2)xで割ってやることで問題は次と同値になります：

「b^2+c^2<1, by+cz<-1」⇒「y^2+z^2は1より大きいか小さいか」

あとは内積の性質から答えは「y^2+z^2>1」でなければならないことはほぼ明らかでしょう。