確率、統計の問題について教えてください！

質問

テレビメーカーが４つのメーカーA1,A2,A3,A4から販売され、それぞれのシェアは１０％、２０％、２５％、４５％で故障率は０．４％、０．３％、０．３５％、0.25％となる。故障品が持ち込まれたとき
（１）事象を記号で定義して、ベイズの公式を表現せよ
（２）持ち込まれた故障品がメーカーA1の製品である割合を求めなさい。

回答No.2

MagicianKuma

後半にミスがありましたので訂正します。

求めたいのは、P(A1|F)です。ベイズの定理を当てはめると
P(A1|F) = P(A1∧F)/P(F)
右辺の分子は何を意味しているのでしょう？それはテレビがメーカA1であり、かつ故障している確率です。
これは、P(A1∧F) = P(F|A1)・P(A1) となります。P(F|A1)はなんでしょう？そう、A1の故障率です。
P(Ai)は与えられているでしょうか？　はい。それがシェアと考えればよいわけです。適当に世の中からテレビを１台取ってきたときメーカAiである確率がP(Ai)ですから。
右辺の分母は何も意味しているのでしょう？それはテレビが故障している（どのメーカか関係なく）確率です。これは問題に直接与えられていません。
ここで、Aiは排反事象で網羅してますから、F = A1で故障 または A2で故障 または A3で故障 または A4で故障 すなわち
P(F) = P(F∧A1) + P(F∧A2) + P(F∧A3) + P(F∧A4)　となるのです。
P(F∧Ai) = P(F|Ai)・P(Ai) 結局
P(A1|F) = P(F|A1)・P(A1) / Σ(P(F|Ai)・P(Ai))

P(A1|F) = 0.004x0.1/(0.004x0.1+0.003x0.2+0.0035x0.25+0.0025x0.45) = 0.1333・・・　約13%

回答No.1

MagicianKuma

問（２）に着目してみましょう。
持ち込まれた故障品が・・・目の前にあるテレビが故障しているということですね。それが判明したという前提で、
メーカA1の製品である割合（確率）を求めなさい。ベイズ流にかくと条件確率ですね。
P(メーカA1の製品である｜故障している）　こんな感じでしょう。関係ありそうな事象を記号で定義してみましょう。
A1:テレビはメーカA1の製品である。
A2:テレビはメーカA2の製品である。
A3:テレビはメーカA3の製品である。
A4:テレビはメーカA4の製品である。
F :テレビは故障している。
NF:テレビは故障していない。
A1からA4はAi(i=1,2,3,4)と表現することもできますね。あと忘れてはいけないのはこれらが排反事象ということです。
また、メーカについてはAi(i=1,2,3,4)で全てを網羅していることです。事象の確率をP(E)で表現するなら、
P(Ai):テレビはメーカAiの製品である確率。
P(F) :テレビは故障している確率。

求めたいのは、P(A1|F)です。ベイズの定理を当てはめると
P(A1|F) = P(A1∧F)/P(F)
右辺の分子は何を意味しているのでしょう？それはテレビがメーカA1であり、かつ故障している確率です。これは与えられているでしょうか？
そう、問題に故障率が書かれてあります。0.4%　これはメーカA1のテレビの故障率ですが、まさしくP(A1∧F)の事です。
右辺の分母は何も意味しているのでしょう？それはテレビが故障している（どのメーカか関係なく）確率です。これは問題に直接与えられていません。
ここで、P(Ai)が役に立つかもしれません。Aiは排反事象で網羅してますから、実は
P(F) = P(F∧A1)・P(A1) + P(F∧A2)・P(A2) + P(F∧A3)・P(A3) + P(F∧A4)・P(A4)　となるのです。
各項はテレビがメーカAiである確率にAiの場合に故障している確率の積です。
P(Ai)は与えられているでしょうか？　はい。それがシェアと考えればよいわけです。適当に世の中からテレビを１台取ってきたときメーカAiである確率がP(Ai)ですから。

以上からP(A1|F) = 0.004x0.1/(0.004x0.1+0.003x0.2+0.0035x0.25+0.0025x0.45) = 0.1333・・・　約13%