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角速度ベクトルがkである理由
- 角速度ベクトルがkで表される理由は便宜上の選択であり、数学的なルールに基づいている。
- 角速度ベクトルの表記にはkベクトルが使われるが、kベクトル自体は角速度の方向を示していない。
- 角速度ベクトルのkベクトル表記は、回転軸とする大きさ|ω|の回転を表している。
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＞角速度ベクトルをkを使って表したのは、V = ω X R としたかったからではないでしょうか。 その通りだと思います。 ただし数学的形式である外積と、物理的回転には、想像以上の関連があります。 まず角速度ベクトルを考えるためには、線速度を考えなければなりません。そして線速度を定義するためには、無限小の変位ベクトルを考える必要があります。そこで、無限小の回転による、位置ベクトルの変化（無限小の変位ベクトル）を考察します。 Ｔを無限小の回転を表す直交行列とします。Ｔの具体的形は、添付図の(1)のようなものです。(1)ではδ～0で、(1)はxy平面内の微小な回転を表す、回転行列と了解できると思います。回転行列とは直交行列の事である事も、ご存知と思います。 回転による微小変位ベクトルdＲとは、Ｒを位置ベクトル，Ｅを単位行列として、 dＲ＝ＴＲ－Ｒ＝ＴＲ－ＥＲ＝(Ｔ－Ｅ)Ｒ (1) の事だというのは、OKですよね？。ここでＴ－Ｅ＝εとおけば、εは、微小な回転変位（微小な回転による単位行列からのずれ）を表す行列です。Ｔ＝ε＋Ｅです。εの成分は、その定義から微小です。 εの性質を調べます。 ^tを、行列の転置を表すとして、ＴとＴ^tの積を取れば、 Ｔ・Ｔ^t＝(ε＋Ｅ)(ε＋Ｅ)^t＝(ε＋Ｅ)(ε^t＋Ｅ)＝ε・ε^t＋ε＋ε^t＋Ｅ → ε＋ε^t＋Ｅ (2) になります。(2)の最後の、→の部分は、εの成分が微小なので、その積ε・ε^tを落としても、時間微分には影響しないという意味です。Ｔなんか考えたのは、(1)の時間微分（(1)をdtで割る）を考えるためです。 ここで直交行列の定義を思い出します。それは、Ｔ・Ｔ^t＝Ｅでした（これも、ご存知と思います）。これと、(2)の一番右側を等置すると、ε＋ε^t＋Ｅ＝Ｅより、 ε＋ε^t＝0 となります。つまり無限小回転変位（dtで割れば回転の線速度ｖ）を表す行列εは、反対称行列です。ところが反対称行列というのは一般的に、添付画像の(2)のように表せます。それにＲ＝(x，y，z)^tとして、Ｒをかければ、貼付画像の(3)のようになり、外積の定義に、ぴったり一致します。 ・本当は、こちらの事情が先にあったんです． なので、外積（擬ベクトル）とは、#7さんの仰るように、反対称テンソル（反対称行列）の「省略記法」の事です。そしてそれが有効なのは、3次元に限られます。3次の反対称行列の独立な成分数は（たまたま）3なので、ちょうど3次元のベクトルと同様な挙動を示す、という意味です。これが#7さんの、 ＞反対称テンソルを用いた方が，３次元「空間」に対する記述としてはキレイに思われる面もあります。しかし，数学的操作としてはより簡単ともいいがたいので，ベクトル積という中間的な方法をとっているということもできます。 の意図だと思います。 これが、Ｖ＝ω×Ｒの正体です。そして少し調べるとすぐわかりますが、ωには、角速度の大きさも回転軸も方位も、およそ回転に必要な全ての情報が含まれています。こうなると角速度ベクトルωを用いる事は、もはや必然です。 このような説明を受けた（？）のは、ゴールドスタインの古典力学の剛体運動の章を読んだ時でした。以上のような説明が書いてある本を自分は、これ本以外には知りません。特に数学関係の本は全滅です（それにはそれで、理由があります）。 ゴールドスタインを読んだとき初めて、回転と外積と擬ベクトルの概念の意味がわかりました。そして3次の反対称テンソルを、（擬）ベクトルとみなすと言いだしたのは、恐らく19世紀のグラスマンです。 グラスマンは学生時に数学科だったにも関わらず、神学科の講義ばかり聴いていて、それらの影響で外積などを着想したそうです。つまり外積や擬ベクトルは、出自の物が物だけに、素人にはかなり抽象度の高い概念だと思います。初見で「なんだこりゃっ？」と思うのは、むしろ当然（そっちの方が素直）と自分には思えます。 ＞概念の後先を論じることにはあまり意味を認めませんが、 ＞>(2)ｖ＝ω×ｒ となるように角速度ベクトルを定義した ＞とお考えになっても ＞>もしくは、 ＞>(3)ｖ＝ω×ｒとなるように、ベクトルの外積を定義した ＞とお考えになっても構わないと思います。ご自身で、納得がいく物語を作ることって、悪いことではないと思いますから。 #5さんの応答には、自分も全く同意します。でも、「ご自身で、納得がいく物語を作る」ろうとすると結局、「概念の後先を論じること」になるんですよね。これが自分の感想です。 いやぁ～、自分の同じような感覚を持っていらっしゃる人はいるんだな、と今回は思いました(^^)。ただし、その感覚に忠実過ぎると、確かに学習効率は落ちます。その辺が悩ましい所ですよね？(^^；)。
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- 中村 拓男（@tknakamuri）
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No.6 です。 感じておられることはだいたい分かったのですが、運動の方向とベクトルの方向を 切り離せないというような印象をうけますが、ベクトルに抱いている幾何学的な イメージが少し狭いような気がします。 では、もう一つ質問ですが jeccl さんは 回転というものを物理的にどうイメージ されていますでしょうか？ 回転を表すには、回転軸の「方向」と回転の大きさ(回転の速度)が物理的には 必要になります。 回転軸の「方向」とは、物理や数学で「右ネジの法則」という 形で習うように、ネジを右に回すとネジが進んでゆく方向で回転軸の方向を 表すのが一般的です(実際にネジが進む方向に運動があるわけではありませんが)。 この方向と大きさという２つの概念を同時に表すのに、ベクトルはうってつけだと 思うのですが、いかがでしょうか？ 逆にこれ以外の方法で回転を数学的に表す良い方法がありますでしょうか？ このあたりをよく考えていただきたいのです。
お礼
回答が遅くなりまして申し訳御座いません。 「ベクトルに抱いている幾何学的なイメージが少し狭いような気がします。」 まさにそうでありまして、今回、回転運動をベクトルで表すことができることを学んでとても面白い、と感じ、またなるほど、と思ったたのです。 このあたりのことを説明する際には、丁寧に行わないと、物理・数学が得意でない人、なじみの無い人には、理解しにくいと思います。誰も彼もが、ベクトルに抱いているイメージが広いわけではなく、むしろ、私のような狭いイメージに取り付かれているひとが多いのではないかと思います。回転を表すには、回転軸の方向をベクトルの方向として、回転の大きさ（角速度の大きさ）がベクトルの大きさとして行うよ、といきなり言われてすぐに納得できるかどうか、疑問です。このような回転の表現方法を使う以外に良い方法は見つからない、この表現方法を受け入れると、こういうことができる（外積云々のお話）という説明があれば、納得できるのではないかと思います。
#8です。 すいません。貼付画像を貼付し忘れました・・・。
- yokkun831
- ベストアンサー率74% (674/908)
>ｖ＝ω×ｒが、|ｖ|＝|ω||ｒ| と似た式形態をとっていることについて、 仕事の定義が，力×変位すなわち W = |F~||x~| から W = F~・x~ ※正確には W = ∫F~・dx~ とベクトルの内積に拡張されて表されることはご存知と思います。F~とx~が平行でない一般の場合にも仕事が定義できることを示しています。 同様に v~ = ω~×r~ は円運動のようにr~とv~が垂直でなくともω~がこれによって一意に定まります。これは，さらに角運動量の定義 L~ = r~×p~ を考えると，その拡張の意味合いがわかると思います。位置ベクトルと運動量ベクトルが垂直でない一般の運動に対しても角運動量が定義されています。 話は変わりますが，ガウスの定理（発散定理）やストークスの定理，またガウスの法則（電場等に対する）において面素を表すのにその面積を大きさとする法線ベクトルを用いるのをご存知だと思います。 ∫sA~・dS~ = ∫v∇・A~dV や， ∫sE~・dS~ = Q/ε のdS~です。これは向き付きの面素を表すひとつの数学的「便宜」です。「便宜」とはいってもこれには深い理論的土台があります。それは，３次元空間において線素と面素というのは互いに「双対」というあい補うような関係にあるということです。このような理屈はくわしくは「微分形式」という数学において出てくる考え方ですが，面がそれに垂直な方向を指定することで一意に定まることは理解できますね？軸性ベクトルおよびベクトル積はこのような考え方を土台に持っていると思います。 ちなみに，軸性ベクトルとのベクトル積は，それと「双対」の関係にある反対称テンソルとの積として表現することもできます。軸性ベクトルω~は，行列で示すと Ω = ( 0，-ωz，ωy ； ωz，0，ωx ； -ωy，-ωy，0 ) ※「；」は改行 となり，これと列ベクトル r~ = { x，y，z } ※{ }内は縦に並べる との行列積がベクトル積と同じになるのです。 Ωr~ = ω~×r~ 反対称テンソルを用いた方が，３次元「空間」に対する記述としてはキレイに思われる面もあります。しかし，数学的操作としてはより簡単ともいいがたいので，ベクトル積という中間的な方法をとっているということもできます。 ベクトル積は単に「便宜」にとどまるものでなく，３次元空間に対する私たちの数学的理解をその土台に持っているということを伝えたくて，やや冗長な回答になってしまいました。
お礼
より詳しく、多方面から教えて頂き本当にありがとう御座います。 面を法線で表すことを習ったときのことを思い出しました。確かに、今回のような違和感を覚えたのを記憶しています。それを思い出させてくださり、私の質問の本質的なところをご理解下さっているのだと、改めて感じました。ありがとう御座います。 こういった私にとって根本的、本質的と思っていることをお聞きするとき、実は怖くあります。私の質問は、皆さんにとっては初歩的なことであったり、当たり前のことなのかも知れません。まるで、なぜ、1+1 = 2,なのですか、と聞いているような質問と思われるかも知れず、どんなご批判を受けるのか心配になります。しかし、真剣に聞いて下さる回答者様が多くとてもありがたく改めまして感謝申し上げます。
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
私は角速度を軸ベクトルとして表現するのはとても自然な考え方だと 思いますし、またそれが他の量と外積でつながっているのは 便利だし、とても単純で美しいと思います。 jeccl の感じている違和感が文面から明確には伝わってこないのですが、 どのような「ルール」を数学と物理の間に想定されていますか？ ＃哲学のようなもの？？？ なんとなく、数学と物理を使うときに、その間には本質的な意味の繋がりや 対応があって、それが分かって初めて数学が使えるというような印象を うけるのですがいかがでしょう？ このあたりの説明がないと、答えるのは難しいと思います。
お礼
回答ありがとう御座います。 「ルール」というと語弊を招きそうですが、私の感覚、センス、と思ってお聞き下さい。 例えば、位置ベクトル R = |A|jとした場合（始めにお断りしている通り、矢印を付けられないので、記号になにも付いていない場合は、ベクトル、絶対値記号が付いている場合はスカラーとお考え下さい）で、 |A|が|A+1|になったっとします。すると、1mだけ「前進」したと、イメージをもちます。 これが速度ベクトルでも加速度ベクトルでも、やっぱり「前進」したと思います。 そして、その前進の方向は、ベクトルの方向です。すんなり頭に入ります。 ところが、角速度ベクトルは、ω = |A|k と表記されますが、 |A|が|A+1| すると、1だけ角速度の大きさが大きくなったのですが、大きくなった方向がよく分からない、大きくなった方向が、ベクトルの方向と無関係で、すんなり頭に入らないのです。図示しても、どうもイメージが付き難いです。ω = |A|k とω = |A+1|kを図示してみると、後者がZ軸の上に表記されるわけですよね。でもなんだか掴み難いと感じてしまうのです。なんだか、回転している物体がZ軸方向に浮上してきているのでは、といった変な感覚さえ起こります。そして、「えーと、このZ軸上での位置の違いは、その方向に進んだというのではなく、それだけ角速度が速くなったということだな」と一度、頭の中で翻訳している自分がいます。 回答になっているか分かりませんが、位置・速度・加速度のベクトルが直感で掴み易いのにたいし、角速度・角加速度ベクトルは一度翻訳を経なければ頭に入ってこない掴みづらい存在です（少なくとも今の私にとって）。
- Quarks
- ベストアンサー率78% (248/317)
ANo.3です。 >角速度ベクトルについて初めて習った、学んだとき違和感は感じませんでしたでしょうか。 >速度でも加速度でも移動の方向がベクトルの方向というのは直感的に通じます。ですが、 >角速度ベクトルの方向は回転軸の方向を表す、と聞いて、よし了解、とすぐに頷けました >でしょうか。 当初は違和を感じましたよ。何これ？ という感じでした。 でも、質問者さんが、hitokotonusiさんへのコメントにお書きのように、学習していくに従って、”回転軸こそが回転運動の（直線運動や他の運動に対する）特異性であり、それを利用して回転運動を数式でうまく表現できる素晴らしさに感動”した一人です。 たとえ違和を感じたとしても、それが適切な方針で、多くの豊穣な結果をもたらすのなら、受け入れていくのが好ましい態度なのではないでしょうか。もちろん、違和感を温めて、やがて独自の体系を構築してしまう人もいるでしょうが…。 >これを受け入れてみて、行き着いてみたら、 >ｖ＝ω×ｒ >で表せる、なんて、びっくりしました。 >これはどういうことなんでしょうか。 >一つ考えられるのは、… >… ωの方向を回転軸の方向に取ることを認めたのならば、 外積表現で ｖ＝ω×ｒ と書ける（いえ、書かなければならない）のは必然のことですよね。 外積という概念がどのようにして作られてきたものなのかその経緯を知りません。 外積も回転ということと無関係な概念ではないと思いますから、話題になっているようなことを念頭においてできたのかもしれませんね。 概念の後先を論じることにはあまり意味を認めませんが、 >(2)ｖ＝ω×ｒ となるように角速度ベクトルを定義した とお考えになっても >もしくは、 >(3)ｖ＝ω×ｒとなるように、ベクトルの外積を定義した とお考えになっても構わないと思います。ご自身で、納得がいく物語を作ることって、悪いことではないと思いますから。
お礼
回答ありがとう御座います。 「たとえ違和を感じたとしても、それが適切な方針で、多くの豊穣な結果をもたらすのなら、受け入れていくのが好ましい態度なのではないでしょうか。」 そのように思います。そして 「外積も回転ということと無関係な概念ではないと思いますから、話題になっているようなことを念頭においてできた・・・」 ということを確認することができれば、過去の数学者・物理学者の方たちと気持ちを共有したような思いを抱け、もっと数学や物理が楽しく学べるのではないかな、と思いました。
- hitokotonusi
- ベストアンサー率52% (571/1086)
>なぜ、質量でも体積でもなく、回転軸になってしまって、それがまかり通るのか、 質量や体積で回転を記述できるというお考えであるなら、 どうぞご自由になさっていただいて結構ですよ。 私はごめんこうむります。
お礼
私の質問の意図や返答について、本質的でない部分をピックアップして何か挙げ足をとられていらっしゃるようで、とても残念に思いました。もしくは私の書き方が悪くかったのかも知れません。文面は音のトーンがなく、伝え難いですね。 私も、もちろん、質量や体積で回転を記述できるとは思っておりませんし、回転軸こそが回転運動の（直線運動や他の運動に対する）特異性であり、それを利用して回転運動を数式でうまく表現できる素晴らしさに感動しました。 ただ、なぜ、こうも上手く、V = ω X r におさまることができたのか、ただの偶然なのか、それとも外積や角速度ベクトルの定義を作った経緯や歴史に何か関わっているのではないか、と疑問に思ったのです。
- Quarks
- ベストアンサー率78% (248/317)
>kベクトルは、まったく角速度の"方向"を示していません。 角速度の方向と、瞬間の速度の方向とは別ものです。速度は接線方向を向いているベクトルですが、角速度は"回転"をイメージした量で、速度とは異なる物理量です。 その方向、つまり"「回転」の方向"なるものはどのようなものか、自明ではありません。 どのように考えるかを定義しておく必要があるわけです。"回転の向き"というものを、どのように考えるのが合理的か、という問題ですね。矛盾を生じないように定義することになります。 回転には１本の決まった回転軸があります。回転する物体では、時々刻々速度の方向は変動しますが、回転軸は変化しません。１つの回転に対して１本の回転軸が対応するわけです。この不変性と１：１の対応性に着目して、回転軸の方向を、回転の向きを表すベクトルの向きと定めるのが自然だと思ったのでしょう。 確かに見ようによってはｘ－ｙ平面内の運動なのに、回転の方向は平面に垂直なｚ軸の向きだ、と言われると、違和感を感じますし、「理解の押し付け」と思えるかも知れませんが…。でも、数学のルールを無視しているわけではありません。 質問者さんは、角速度の方向なるものを、質問者さんなりに具体的にイメージしておられるようですが、それはどのようなものでしょうか。どのように数式で表現できるのでしょうか。 さて、、この様に角速度ωの方向を定めると |r|・|ω|=|ｖ| という大きさの関係や ω、ｒ、ｖの向き を矛盾無く表現するには ｖ＝ω×ｒ とするべきだということが要請されます。 ｖ＝ω×ｒ としたいからωの方向をｋベクトル方向に定めた、というわけではないと思います。
お礼
回答下さりありがとう御座います。 「数学のルールを無視した・・」などと思いあがったことを書いてしまい失礼しました。 ただ、どうでしょうか、質問者様は、角速度ベクトルについて初めて習った、学んだとき違和感は感じませんでしたでしょうか。速度でも加速度でも移動の方向がベクトルの方向というのは直感的に通じます。ですが、角速度ベクトルの方向は回転軸の方向を表す、と聞いて、よし了解、とすぐに頷けましたでしょうか。私の数学的、物理的センスの無さからくることなのかも知れません。 私は、まずはこれを受け入れてみて、行き着いてみたら、 ｖ＝ω×ｒ で表せる、なんて、びっくりしました。 これはどういうことなんでしょうか。 一つ考えられるのは、(1)偶然、 あと二つ考えられることは、 (2)ｖ＝ω×ｒ となるように角速度ベクトルを定義した、ということ もしくは、 (3)ｖ＝ω×ｒとなるように、ベクトルの外積を定義した、ということ ではないかと思います。 いかがでしょうか。再度の質問のようで恐縮ですが、宜しくお願いします。
- hitokotonusi
- ベストアンサー率52% (571/1086)
>kベクトルは、まったく角速度の"方向"を示していません。 この場合の角速度の方向とはなんでしょう？角度には方向がありません。 円運動をしているとして円の接線方向だとすると、時々刻々方向が変ってしまいますね。 そのような量を円運動を記述する物理量とするのは不合理です。 それでは円運動をしている間に変らないものはなんでしょうか。 それは回転軸の方向です。 それなら、回転軸を使って回転を記述するというのは合理的だと思いませんか？ 外積云々は付随的な話だと思います。 もちろんそれがうまくいったということが、この定義が採用され生き残っている理由だとは思いますが。
お礼
回答下さり、ありがとう御座います。 「回転軸を使って回転を記述するというのは合理的だと思いませんか？」 はい、合理的だと思います。ただ、私は結果として、合理的になったと考えてしまうのであります。ここが私の数学的センスのなさなのかも知れません。 例えば、 「それでは円運動をしている間に変らないものはなんでしょうか。 それは回転軸の方向です。」 とあります。馬鹿な回答だと思って聞いてください。 円運動をしている間に変わらないものは、質量だって体積だってそうです。 なぜ、質量でも体積でもなく、回転軸になってしまって、それがまかり通るのか、 結果としてまかり通るように、角速度ベクトルの定義や外積の定義を作ったのでは ないかとと思ったのです。 NO.3の回答者の方にも申し上げたのですが、いかでしょうか。 以下、写しとなりますが、ご意見いただけましたら幸いです。 ---------写し--------------------- ｖ＝ω×ｒ で表せる、なんて、びっくりしました。 これはどういうことなんでしょうか。 一つ考えられるのは、(1)偶然、 あと二つ考えられることは、 (2)ｖ＝ω×ｒ となるように角速度ベクトルを定義した、ということ もしくは、 (3)ｖ＝ω×ｒとなるように、ベクトルの外積を定義した、ということ ではないかと思います。 いかがでしょうか。再度の質問のようで恐縮ですが、宜しくお願いします。
- yokkun831
- ベストアンサー率74% (674/908)
大体イメージとしてはお考えの通りでよいと思います。 このようなベクトルを軸性ベクトルといい，その他の極性ベクトルと区別されます。一般に回転に関る物理量に用いられます。角変位，角速度，角加速度，角運動量はもちろんのこと，それと対応して運動方程式の右辺を構成するトルク（力のモーメント），さらには電流との関連で磁場などが軸性ベクトル量として挙げられます。単にベクトル積によって他の量の導出ができるというだけでなく，ベクトル場の重ね合わせ（合成）や微分などの操作において，基本的には極性ベクトルと同様の操作が可能です。ただし，推察された通り物理的な意味に，物理量の方向をそのまま表現する極性ベクトルとは異なり，「回転」に関る意味合いを持っていますので，その点を考慮されるとよいと思います。
お礼
yokkun831様、いつもありがとう御座います。 今回の質問は、具体的な問題というよりも本質的（？）なお話で、悩みの真意をご説明するのに、また悩みました。色々と回答頂きまして、考え至ったことで、他の回答者様にもお聞きしているのですが、yokkun831様はどう思われますでしょうか。 ｖ＝ω×ｒが、|ｖ|＝|ω||ｒ| と似た式形態をとっていることについて、 (1)偶然、 (2)ｖ＝ω×ｒ となるように角速度ベクトルを定義した (3)ｖ＝ω×ｒとなるように、ベクトルの外積を定義した のいずれではないかと考えました。 もともと、「一体全体、外積がどんなことに使えるのだ」、 と半信半疑で過ごしていたこともあり、今回の角速度ベクトルの 件を解決することでさらに勉強になりそうです。 再度の質問となり恐縮ですが、ご教示頂けると幸いです。 宜しくお願いします。
お礼
回答下さりありがとう御座います。 とても詳しく教えて頂き、また私の真意をご理解下さりとても嬉しいです。 よく読んで、もっと勉強して参ります。理解するのに時間がかかりそうですが、 まずはお礼申し上げたく、ご連絡差し上げました。 宜しくお願い致します。