場合分け

質問

kを、k≧0を満たす定数とすると、2じかんすうy=f(x)=-x＾2＋2kx－4ｘ＋4(0≦x≦1)の最大値について。

場合わけついてわかりません。

どうして
0≦k≦1と1<kがでるのでしょうか？

回答No.6

fushigichan · ベストアンサー

boku115さん、こんにちは。

＞kを、k≧0を満たす定数とすると、2じかんすうy=f(x)=-x＾2＋2kx－4ｘ＋4(0≦x≦1)の最大値について。

２次関数は、
y=f(x)=x^2+2kx-4k+4(0≦x≦1)

と考えてよさそうですね。
これを平方完成していくと

y=f(x)=-(x-k)^2+k^2-4k+4
となるので、
頂点(k,k^2-4k+4)
上に凸の放物線、となります。

＞どうして
0≦k≦1と1<kがでるのでしょうか？

最大値を求める問題ですよね。
もしも、0≦x≦1という条件がなくって、xはすべての実数をとってもよければ
頂点のときに最大値になっているのは、いいですよね？
でも、実際は0≦x≦1という定義域がありますので
この定義域の中で、最大値を考えていかないといけない。

(1)もしも、この定義域0≦x≦1の間に頂点がきていたら、どうなるでしょうか？
もちろん、頂点で最大になりますよね？
そのとき、0≦k≦1
ということですが、このとき最大値は頂点のy座標ですから
y=f(k)=k^2-4k+4
となります。

(2)次に、kが定義域をはずれたとき。
1<kのとき。
このときは、0≦x≦1の範囲では、右上上がりの曲線になっていますから
xが大きくなればなるほど、y座標も大きくなっています。
よって、最大値はy=f(1)
ということになります。

(3)k<0のとき
これは、一番最初に書かれたように、k≧0である、
ということですから、考える必要はありません。

というわけで、(1)～(3)より
場合分けは0≦k≦1と1<kの２つの場合を考えればよい、ということになるんですね。
頑張ってください！

回答No.5

shinchan_k

#2さんに対する補足からすると
y=f(x)=-x＾2＋2kx－4ｘ＋4
ではなく、
y=f(x)=-x＾2＋2kx－4k＋4
なんでしょうか。
-4xなのか-4kなのかで当然解答は変わってきますが
基本路線は#3で発言したとおりです。

回答No.4

Sage-y

こんにちは。
さて、早速なのですが、質問の式や条件は間違ってませんか？その通りの問題だとすると、やり方は＃１さんの方法で正しいと思いますが。。
問題式を二次関数の基本式：y=(x+a)^2+bの形に直して（この場合軸が-a、頂点がb）
　y=-{x-(k-2)}^2+k^2-4k+8
となり、軸：k-2とわかります。
後は、＃３さんのやり方でできます。
・)　　軸≦０　→　max=f(0)=4
・)０＜軸≦１　→　max=頂点=k^2-4k+8
・)１＜軸　　　→　max=f(1)=2k-1
現役ではないので自信なしですケド。。

回答No.3

shinchan_k

#2の方の解答のようになるんですが、
下の凸の放物線の最小値を求める
または
上の凸の放物線の最大値を求める
ときには
(i) 軸が定義域の左にある
(ii) 軸が定義域の中にある
(iii) 軸が定義域の右にある
の３つの場合分けになります。
あくまで、軸が自由に動ける場合の話ですけど・・・
参考までに。

回答No.2

takahiro-inuneko

#1です。うっかりしてました。
平方完成はわかりますよね？
平方完成をして、
f(x)=-x＾2＋2kx－4ｘ＋4
=-{x-(k-1)}^2+k^2-4k+8
となります。
k≧0という条件と、
軸がx=k-1であることを利用して、
0≦k≦1のとき、
k-1≦0より、最大値はx=0のときに出てきます。
1<k<2のとき、
0＜k-1＜1より、最大値はx=k-1のときに出てきます。
k≧2のとき、
k-1≧1より、最大値はx=1のときに出てきます。

こんな感じだと思います。
何かありましたらまたどうぞ。

補足

標準の形にすると
y=-(xーｋ）＾2＋k＾2-4k＋4ではないでしょうか？

回答No.1

takahiro-inuneko

f(x)=-x＾2＋2kx－4ｘ＋4
=-{x-(k-2)}^2+k^2-4k+8
となるので、
場合わけは、k<2,2≦k≦3,k>3
とならないでしょうか？

何かありましたらまたどうぞ。