２次関数の最大・最小

質問

“２次関数ｙ＝－X^2＋２ｋX＋L (１≦X≦５)の最大値が１５、最小値が－３であるように、定数ｋとLの値を求めよ”という問題がありました。解説ではいきなり、ｋ≦１、１＜ｋ≦３、３＜ｋ≦５、ｋ＞５、と場合わけがされているのですが、３という数字はなぜ出てきたのでしょうか？定義域の端と軸との距離から出てきたのでしょうか？だとすると、３という数字がでてくる理由(計算？)も示されるべきではないのでしょうか？
宜しくお願いします。

回答No.1

repobi · ベストアンサー

平方完成なり微分なりをすれば、頂点がｘ=ｋのときであるとことはすぐにわかりますね。
質問に、率直に答えますと、３と言うのは、ｘの範囲である１から５のちょうど真ん中の値です。
絵を描けばわかると思いますが、
１：グラフの頂点（ｘ＝ｋ）が１より小さいときは、最大値はx=1のときで、最小値はx=5のとき
２：グラフの頂点（ｘ＝ｋ）が１と３の間のときは、最大値はx=kのときで、最小値はx=5のとき
３：グラフの頂点（ｘ＝ｋ）が３と５の間のときは、最大値はx=kのときで、最小値はx=1のとき
４：グラフの頂点（ｘ＝ｋ）が５より大きいときは、最大値はx=5のときで、最小値はx=1のとき
になります。
２次関数ですから、グラフは頂点の軸に関して左右対称になります。
ｘの値が１から５の間にあるときは、最大値はx=kのときなんですが、最小値は真ん中の値であるx=3を境に、右と左で変わるわけです。

下手な文章ですが、意味わかりますかね…？

ちなみに、k=3のときは、x=1とx=5のときで値が同じになり、ともに最小値になります。
だから、解説では、
１＜ｋ≦３、３＜ｋ≦５
となっているようですが、
１＜ｋ＜３、３≦ｋ≦５
でも構いませんし、僕なら
１＜ｋ≦３、３≦ｋ≦５
としますかね。
ってか、この問題の場合、全部"≦"でいい気がしますが。
間違ってたらごめんなさい。

お礼

分かりやすい説明ありがとうございます。
納得がいきました。

回答No.3

abyss-sym

回答欄には書かなくていいですよ。

お礼

ありがとうございます。
神経質になりすぎなこの頃です。

回答No.2

abyss-sym

軸はＸ＝ｋです。２次関数のグラフは左右対称になっているので、１≦Ｘ≦５では、その真ん中である３を境に最大最小が入れ替わります。
実際にグラフを書いて、放物線を左右にずらしてみると理解しやすいかと思います。

お礼

＞２次関数のグラフは左右対称になっているので、１≦Ｘ≦５では、その真ん中である３を境に最大最小が入れ替わります。

これは暗黙の了解みたいなもので、解答欄に明記する必要はないのですか？