微分がわかりません！たすけてください！

質問

(1)f(x)=sin^-1(5x)のときf’(0)は？
(2)f(x)=cos^-1(5x)のときf’(0)は？という問題が分かりません！

答えは(1)が５(2)が-5と分かって入るのですが途中式が分かりません。教えてください！

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)
　y=f(x)=sin^-1(5x)
　sin(y)=5x
xで微分
　cos(y)y'=5
　y'=5/cos(y)
x=0の時
　y=f(0)=sin^-1(0)=0, cos(y)=cos(0)=1
　y'=5/cos(0)=5

(2)
　y=f(x)=cos^-1(5x)
　cos(y)=5x
xで微分
　-sin(y)y'=5
　y'=-5/sin(y)
x=0の時
　y=f(0)=cos^-1(0)=π/2, sin(y)=sin(π/2)=1
　y'=-5/sin(π/2)=-5/1=-5

回答No.1

ONEONE

y = f^-1(x)の微分は
dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/(df(y)/dy)ですので
例えば(1)は
f'(x) = 1/((1/5)dsiny/dy) = 5/cosy = 5/cos(sin^-1(5x)) = 5/√(1 - sin^2(sin^-1(5x))) = 5/√(1-25x^2)
f'(0) = 5