微分がわからないです！！

質問

(1) y=3x^3+cos(4x+1)/2x^2+5x

この関数の導関数を求めるのですが
すごいややこしくなってしまって解けません！

途中式を含めた答えをお願いします！

回答No.2

noname#175206

補足、承りました。#1です。

>y={3x^3+cos(4x+1)}/2x^2+5x

　これはまだ紛れがあります。以下の二つの選択になります。

y={3x^3+cos(4x+1)}/(2x^2+5x)
y={3x^3+cos(4x+1)}/(2x^2)+5x

　たぶん、前者でしょうね。

　#1で申し上げた、(fg)'＝(f'g－fg')/g^2を使うことになります。

　f＝3x^3+cos(4x＋1), g＝2x^2＋5x, f'＝9x^2－4sin(4x＋1), g'＝4x＋5となります。

y＝(fg)'＝(f'g－fg')/g^2
＝[{9x^2－4sin(4x＋1)}(2x^2＋5x)－{3x^3+cos(4x＋1)}(4x＋5)]/(2x^2＋5x)^2

　うーん、これでいいようには思うんですが……。何せ私は計算ミス常習者ですので(^^;。
　また、これをもっと簡単な形に整理できるかどうか、私ではよく分かりません。すみません。

回答No.1

noname#175206

>(1) y=3x^3+cos(4x+1)/2x^2+5x

　たぶん、これがどういう式か、一つに決まらないので、回答が付かないのだと思います。

　その式を見て、いろいろあり得ると思ってしまいます。たとえば、以下のような感じです。

y=(3x^3)+(cos(4x+1))/(2x^2)+5x　なんとか私でもできそうか？
y=(3x)^((3+cos(4x+1))/(2x^2+5x))　無茶言うな！の世界(^^;
y=(3x^3)+cos((4x+1)/(2x^2+5x))　私個人は勘弁してほしい世界(^^;

　上記は、あり得る全部を書き出したわけではないです。

　ここはテキストベースなので、右上の添え字とか、分数表現を2行に分けてとか、どうしても書けないので、こういう、いろいろあり得るように読めてしまうことは、起こりがちです。

　個人的には、y=(3x^3)+(cos(4x+1))/(2x^2+5x)かなあ、とか思ったりもします。

　もしそうなら、第1項の3x^3を微分して9x^2で、こちらは簡単です。

　第2項は、二つの関数f(x), g(x)があるとき、{f(x)/g(x)}'＝{f'(x)g(x)－f(x)g'(x)}/{g(x)}^2という公式を用いれば、計算できます。
　確かに簡単な式にはなりそうにないですが、2x^2+5xの微分が4x＋5、cos(4x＋1)の微分が-4sin(4x＋1)ということを公式として使えばできなくはないでしょう。

　もしcos(4x＋1)の微分も証明する必要があれば、その手間もかかります。f(g(x))という関数の微分の証明になります。

補足

すばやい回答ありがとうございます！
式の形がいけなかったんですね

正確には

y={3x^3+cos(4x+1)}/2x^2+5x

というかんじなんです;;