数学の問題です。

質問

いつも回答をいただきましてありがとうございます。

簡単なのかもしれませんが疑問を感じたので投稿します。

数学の問題です。
「三角形ＡＢＣにおいて三辺の長さが４，６，８の時の面積を求めよ」という問題です。

ＳＩＮは４分の√１５です。

手持ちの問題集の回答では、2分の１・４・６・ＳＩＮと書いてありますが、
２分の１・８・４・ＳＩＮや
２分の１・６・８・ＳＩＮ
ではダメなのでしょうか？

「三角形ＡＢＣにおいて三辺の長さが４，６，８である」という条件なので、決まっていないとは思いますが、答えが違ってくるので、質問させていただきました。

お忙しいとは思いますが、よろしければ回答をお願いいたします。

返事は明日の朝になると思います。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

三辺a=4,b=6,c=8が分かっている場合の三角形ABCの面積Sは
ヘロンの公式
　S=√{s(s-a)(s-b)(s-c)}, s=(a+b+c)/2
を使えば良いでしょう。
代入して計算するだけなので自力でやってみて下さい。

計算すると、S=3√15 となりました。

質問文が雜なので読み解くのが大変です。
公式S=(1/2)ab*sinC
を使うなら

>ＳＩＮは４分の√１５です。
余弦定理より
　cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=-1/4 (∠Cは鈍角)
　sinC=√(1-cos^2C)=(√15)/4
　S=(1/2)ab*sinC=(1/2)*4*6*(√15)/4=3√15

>手持ちの問題集の回答では、2分の１・４・６・ＳＩＮと書いてありますが、
　正確に書いて下さい。→S=(1/2)ab*cosC=(1/2)*4*6*sinC

>２分の１・８・４・ＳＩＮや
>２分の１・６・８・ＳＩＮ
ではダメなのでしょうか？
これでは不正確で通じません。
　S=(1/2)ca*sinB=(1/2)*8*4sinB
　S=(1/2)bcsinA=(1/2)*6*8sinA
なら、これでも良いです。
ただし、余弦定理を使いcosBやcosAを求め、公式を使ってsinBやsinAを計算して、上の式に代入してやる必要があります。

お礼

回答ありがとうございます！！
問題文に、a=4,b=6,c=8のように、aはずばり何センチという指定がなかったので、戸惑ってしまいました。そして私のまとめ方が、さらに雑のようで、無用な作業が増えてしまって申し訳ありません・・・。

参考までに全文を写させていただきます。

三角形ＡＢＣにおいて、三辺の長さが、４、６，８の時、次の各問いに答えよ。
(1)この三角形の最大角の余弦を求めよ。
(2)三角形ＡＢＣの面積を求めよ。

解答(1)
最大角をθとすると、cosθ＝4^2+6^2-8^2／2×4×6＝-1/4
解答(2)
sinθ=√1-cos^2=√1-1/16＝√15/4

Ｓ=1/2×4×6×sinθ
　=1/2×4×6×√15/4=3√15

でした。

(1)ありきの(2)なので、(1)も表記するべきでした。すいません。

ヘロンの公式をすっかり失念していました。使えばよかったです。

aが４、ｂが６などはっきりしていないので、なぜこの式が成り立つか不思議だったのです。

ヘロンの公式で解くことにします。
どうもありがとうございました！！

回答No.1

mister_moonlight

ヘロンの公式、というものがある。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%AD%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F

そのＵＲＬの方法とは別に、余弦定理からsinθを求める方法もある。
その結果のヘロンの公式は　高校数学でも“常識”と考えて良いだろう。それを使えば、答えは直ぐ出る。
もちろん、その証明は憶えておかなければならないが。

お礼

回答ありがとうございます！

ヘロンの公式を使えばいいのですね・・。
公式だけは覚えていても、使うタイミングを逃してしまいました。