数学の答え(英字）

質問

添付したファイルに数学の問題と答えの一段落目の画像を載せています。
そこに書いてある、答え以外に条件を満たすf(x)がない事の証明をどうやっ
ているのか始めからわかりません。
この段落を大体訳していただけないでしょうか？

回答No.1

f272 · ベストアンサー

解　まず非負整数cを用いてf(n)=n+cの形であらわされるすべての関数は問題の条件を満たすことは明らかである。なぜなら(f(m)+n)(f(n)+m)=(n+m+c)^2は平方数だからである。
我々に残されたのは，他の関数がないことを示すことである。以下のことから始める。
補題　素数pと正整数k，lがあってf(k)-f(l)がpで割り切れるときk-lはpで割り切れる。
証明　f(k)-f(l)がp^2で割り切れるなら，ある整数aを用いてf(l)=f(k)+p^2aである。D>max{f(k),f(l)}であるようなpで割り切れない正整数Dをとり，n=pD-f(k)とする。このとき正数n+f(k)=pD，n+f(l)=pD+(f(l)-f(k))=p(D+pa)は，どちらもpで割り切れるが，p^2では割り切れない。ここで問題の条件を適用して，(f(k)+n)(f(n)+k)と(f(l)+n)(f(n)+l)はpで割り切れる平方数であり，したがってp^2でも割り切れる。これは乗数であるf(n)+kとf(n)+lがpで割り切れることを意味し，(f(n)+k)-(f(n)+l)=k-lはpで割り切れる。