期待値の問題

質問

１～ｎまでの数字の書かれたカードが二組ある。その二組の中からランダムに1枚づつとりだして、ペアにする。そしてそのペアを作る作業をn枚の全てのカードがなくなるまで行い、全部でnペアつくる。2枚の数字が同じになった時のペアの得点の合計（たとえば1,1 4,4 5,5とペアになれば20点です)を総得点を観測値として、その作業を100回繰り返す。
総得点の期待値を求めよという問題ですが、どのように解いていけばよいのかきっかけがつかめません。
全ての場合をだして、総得点を出そうにもなかなか法則が見つからず。。。

出来れば解説をよろしくお願いします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

2枚の数字が同じになる確率は、どの数についても1/nだから、総得点の期待値は、
(2+4+6+・・・・+2n)/n=n+1

n=3で確認してみましょう。
二組からランダムにとありますが、１組は1,2,3と順番に取り出したとしても一般性を失いません。
２組目をランダムに取り出した場合、その組み合わせは3!=6通りで、
(1,2,3)、(1,3,2)、(2,1,3)、(2,3,1)、(3,1,2)、(3,2,1)
総得点は順に、12,2,6,0,0,4　なので、
期待値は、(12+2+6+0+0+4)/6=4