不等式の問題添削お願いします

質問

100以下の正の整数の組(m,n)で、m<(√2)×n<2mを満たすものが、全部で、2958組あるとき、
(√2)×n<mを満たす組は全部でいくつあるか

すべての場合は次の３通りで、それは、１００×１００通りである
(1)(√2)×n<m
(2)m<(√2)×n<2m
(3)2m<(√2)×n
(√2)×n=mになることがないのは明らか。(2)(3)の場合も同様。
また、(1)と(3)の組の個数は二乗すると2m^2<n^2,2n^2<m^2となり等しいとわかる。
よって、求める組の数は(10000-2958)÷2=3521

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

＞すべての場合は次の３通りで、それは、１００×１００通りである
もう少し言葉を補わないと。
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すべての(m, n)の組は次のいずれかの場合に含まれており、
その合計は 100×100とおりとなる。
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＞(1)と(3)の組の個数は二乗すると2m^2<n^2,2n^2<m^2となり等しいとわかる。
言いたいことはわかりますが、少し無理が・・・
いっそのこと、添付のように図にしてしまった方がわかりやすいかも。
・直線：n＝ mに対して、「対称」になっていること。
・赤い直線上には格子点が存在しないこと。

これら 2点をしっかり論じておけば、個数の計算根拠がはっきりすると思います。

お礼

回答ありがとうございます
(1)と(3)の組の個数が等しいことをどう簡潔に表現するか、
グラフをもちいるのも分かりやすいです