思考問題の解き方

質問

「石取りゲーム」とう考え方の拡張版のような問題なのですが、わかる方がいらっしゃったら教えてください。
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前提：大きい数字の方から相手と交互にカードを取り、最後のカードを取った方が負けとなる。カードを取る際、1枚は必ず取らなければならない。
問題：
1からLのL枚の黄カード、1からMのM枚の緑カード、1からNのN枚の青カードがある。ただし、L、M、Nは自然数とする。各色のカードはL、M、Nから順に何枚取ってもよいが、異なった色にまたがってカードを取ることはできない。ゲームの途中で自分が取った残りのカードが、黄1、緑1,2、青1,2,3となった。次に相手が取るが、この先、手を間違えなければ必ず自分が勝てる。その理由を説明せよ。

回答No.1

staratras · ベストアンサー

この問題の言わんとするところは、このカードゲームには必ず勝てるカードの残り方(必勝形）が存在し、残ったカードが問題の形になった場合には、戦法をまちがえなければ必ず勝てますよ、ということです。以下「必勝形はどのようなものか」「どうすれば必勝形に持ち込めるか」の順に考えます。

まず「必勝形はどのようなものか」を考えます。自分がとった後に１枚だけ残せばよいので、自分が取る前（つまり相手がとった後）に次のようになっていれば必勝形です。

(１)２つの色のカードが残り、少なくとも一方の枚数が１のとき
(２)１つの色のカードだけが２枚以上あるとき

ここからさらに自分がとった後に以下の２つの場合になれば、必勝形であることがわかります。
(３)２つの色のカードが残り、どちらも２枚あるとき
(４)３つの色のカードがそれぞれ１枚ずつあるとき

なぜなら複数の色のカードを同時には取れないため、(３）の場合相手はどちらか一方の色を１枚または２枚とるしかありませんが、１枚取れば上記の(１)に、２枚取れば上記の(２)になってしまいます。また(４) の場合相手はどれかの色を１枚取ることしかできず、残った２つの色の各１枚が(１)になるからです。

次に「どうすれば必勝形に持ち込めるか」を考えます。黄１、緑１、２、青１、２、３なので、「大きい数字の方から相手と交互にカードを取り」という前提から、相手は青のカードを取らざるを得ませんが、青のカードを取る枚数が１、２、３枚のいずれであっても、以下ＡからＣに示すようにすべて自分の必勝形に持ち込めます。

Ａ：相手が青を１枚取ったとき、黄１枚、緑２枚、青２枚残ります。自分は黄を１枚取れば緑２枚、青２枚が残り、(３)の必勝形になります。

Ｂ：相手が青を２枚取ったとき、黄１枚、緑２枚、青１枚残ります。自分は緑を１枚取れば３色が１枚ずつ残り、(４)の必勝形になります。

Ｃ：相手が青を３枚取ったとき、黄１枚、緑２枚残り、その時点で（１）の必勝形になり、緑を２枚取れば勝ちです。

なお私は「大きい数字の方から」という問題文を、「その時場に出ているすべてのカードの中で大きい数字の方から」と理解しましたが、仮にこの条件がなかったとしてもこの問題の場合は必勝形に持ち込めると思います。

お礼

わかりやすい説明ありがとうございました。質問した後、本やネットで調べてなんとなくわかったようなわからないような気がしていたのですが、staratrasさんの説明で、はっきりと理解できました。