分からない問題があります。

質問

分からない問題があります。
高校数学です。

袋の中に３ｎ枚のカードがありそれぞれに１から２ｎまでの数字のどれか一つが書いてある。
奇数１から２ｎ－１の書かれたカードは各一枚、偶数２から２ｎの方は各二枚である。
この箱から同時に二枚のカードを無作為に選び、そのうち最大の数字をＸとする。
整数ｋを２≦ｋ≦２ｎを満たす整数とする。
Ｘ＝ｋとなる確率をｋが偶数・奇数になる場合にわけて求めなさい。

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

一枚目をY,二枚目をZとする。

kが偶数の場合
X=kとなるのは「どちらかがkでどちらかがkより小さい、または両方k」のとき。

Pr[X=k]
=Pr[Y=k,Z<k]+Pr[Y<k,Z=k]+Pr[Y=k,Z=k]
=2/3n×(k-1+k/2-1)/(3n-1)+(k-1+k/2-1)/3n×2/(3n-1)+2/3n×1/(3n-1)
=2(3k-2)/[3n(3n-1)].

kが奇数の場合
X=kとなるのは「どちらかがkでどちらかがkより小さい」のとき。

Pr[X=k]
=Pr[Y=k,Z<k]+Pr[Y<k,Z=k]
=2/3n×[k-1+(k-1)/2]/(3n-1)+[k-1+(k-1)/2]/3n×2/(3n-1).
=2(k-1)/[n(3n-1)].

検算はしていません。

お礼

ありがとうございます。
こう考えると案外簡単な問題でした。