数学の視点を広げるために

質問

私は高校で数1A2Bと「行列」まで学習しました。
この範囲で

(１)ユニークで面白い問題、公式、解き方など

(２)学校では習わないが便利な公式　または　それを扱った学術書

(３)これは自分だけの視点だと思った経験(つぶやきで結構です)

を教えて下さい。
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たとえば私の場合
(１)二等辺三角形の相似を用いたcos72°の求め方

(３)面積は絶対値みたいだ～←積分のトキ思いました。(あたりまえですが・・)

こんな感じでお願いします。
答の記述は詳しくしていただけると嬉しいです。

小説の読解で頭に思い描くことが十人十色のように
数学的視点もそうだと思うので
いろんな見方を共有したいものです。

回答No.1

WiredLogic

そりゃ、何てったって、オイラーの式・e^(iθ) = cosθ + i*sinθ、

間もなく始まる新課程では、複素(数)平面という章が、数学IIIの範囲に加わりますが、
(代わりに、行列の扱いが軽くなるようです)
その頂点の式(虚数乗なんてのを含むので、これが表立って出てくる訳ではありませんけど)

数IIIの微積の、もうちょっと先＋時代によって、高校の範囲を出たり入ったりしてきた複素(数)平面を合体した式で、
数年前、映画にもなった、小川洋子の小説「博士の愛した数式」の影の主人公が、この式、
(正確にはそれにπを代入した、e^(i*π)=-1です。数学好きなら、それも含めて泣けるかもしれないので、まだなら、小説か映画DVDを見てみては？)

数IIIのもうちょっと先の微積で、やる式に、
e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + … (eは数IIIに出てくる、自然対数の底)、
cosx = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + …、
sinx = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + …、
と、関数を、無限数列みたいな多項式(整式)で表した式があります。
(数IIIの微分と不等式で、左辺と右辺の頭の何項かの間の不等式をやるはず)

これに、機械的に、x = i*θ(θは実数)を代入し、比べてみると、オイラーの式が出てきます。
(複素数の計算、実数部・虚数部の分離など、計算練習になるのでやってみるといい)

証明した訳じゃないので、とりあえず、雰囲気は解った上で、
e^(i*θ) = cosθ + i*sinθを、虚数乗の定義と考える、ということにして、

e^(i*(α+β)) = cos(α+β) + i*sin(α+β)、これはいいですね。
で、虚数乗でも、指数法則は成り立っているはず、と考えると
(そうでないような拡張なら、さすがに指数表現は使わないだろう、くらいはアテにすることして、ま、実際そうな訳ですが)
e^(i*(α+β)) = e^(i*α + i*β) = e^(i*α) * e^(i*β)
= (cosα + i*sinα)(cosβ + i*sinβ)
これを、展開して、実数部分・虚数部分に分けて、上の式と比較してみると…
ほら、加法定理が出てきますよね。

加法定理なんか、既に覚えていると思いますが、怪しくなったら、確認ができる、
この計算を練習しておくと、かなり訳が解らない式でも、指数法則をあてはめ、
複素数の計算をし、実部・虚部に分け、という基本技を反射神経にできる、

さらに、話を進めると、

e^(i*nθ) = cos(nθ) + i*sin(nθ)、
e^(i*nθ) = (e^(i*θ))^n = (cosθ + i*sinθ)^n
で、これを２項定理で展開して、実部・虚部に分けて、上の式と比較すると、

一気に、n倍角の公式が得られることになります。

３倍角の公式あたりは、覚えても、いざ使うとなると、不安になりやすく、
２倍角の公式と加法定理から出そうとすると、それなりに面倒、
まだもう少し先かもしれませんが、行列の後の１次変換の回転変換を
繰り返し適用(行列の掛け算になる)でもできますが、こんなに楽勝ではない。

なので、練習しておくと、学校や入試レベルの話でも、役に立ちますし、
その枠を超えると、現実への応用で、n倍角の公式が必要になりそうな場面
ってありそうでしょ、そういう場合に、便利、

実用的な話を抜きにしても、全く別の関数として、習った、
三角関数と指数関数が、iを媒介に実は繋がっていた、なんてのも、
面白くありませんか？　これは、実は、数学の世界の中の話という
だけでなく、物理などの、自然の本質にも繋がっていく話です。

なので、数学者だけでなく、自然科学・工学などをやっている人に、
あらゆる数式の中で、もっとも美しい、とか、もっとも重要だと思う
数式は何ですか？と聞くと、かなり多くの人が、これと答えます。
(数学者なら、多分、自然科学や工学でも、分野別でなく、トータルなら、トップでないかと)

高校数学の、ちょっと先の話なので、専門書を読むまでもなく、
逆に、大学の数学の教科書を読んでも、それだけ大々的に書いてある訳じゃないので、
もう少し詳しく知りたければ、
吉田武著「虚数の情緒」「オイラーの贈り物」を読むのが、お勧めです。
「虚数の情緒」の方は、サブタイトルに「中学生のための…」などと書いていますが、実際に中学生が読むには、ハードな本、
高校数学全般を、オイラーの式に、行き着くことを目標に、再構成したような本で、数学史的な話も多く、なぜ、自分がこういうことを学んでいるか、というロードマップとしても絶好の、非常にいい本です。ただし、1000ページを超える大部の書なので、読破には根性が必要。値段も結構しますが、公共図書館や学校の図書室では、かなり置いてある確率が高いと思います。
「オイラーの贈り物」の方は、それを、高校生向きに(というか、これも、実際には、謳い文句よりハードな本なので、理系の大学生が、大学の基本の数学で学んだことを再構成という感じが強い)、かつ、教科書的な雰囲気より、読み物側にふった本、やや厚めですが、「虚数の情緒」に比べると、内容はハードでも、普通の本なので、最初は、数式などの難しい部分は少し置いといて、まずは粗筋を読んで、難しいこと・細かいことは、二度目以降に、というような読み方も可、例えば、入試の後、大学入学の前に、読んでおけば、「虚数の情緒」ほどではありませんが、ロードマップになったり、大学数学に対する心構えができたりします。

お礼

複素数を使いこなせるようになりたいです。

早速図書館で探してみます。

ありがとうございました。