ベータ関数にして処理しようとしましたが……

質問

ベータ関数にして処理しようとしましたが……
(∫[0,/2]sinθ^(1/2)dθ)(∫[0,/2](sinθ)^(-1/2)dθ)=πを示す、という問題です。
積分区間とsinθを見て、ベータ関数で処理しようとしましたが、そのようにすると、
∫[0,/2]sinθdθ=1/2Β(3/4,1/2)となり、Γ(3/4)やΓ(1/4)などを求めまければなりません。
∫[0,/2](sinθ)^(-1)dθにしても
=1/2Β(1/4,1/2)となり、Γ(1/4)やΓ(3/4)を求めなければなりません。
どなたかわかる方がいらっしゃったらお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

積分区間 [0,/2] は、[0,π/2] の書き損じでしょうね。
それで、ベータ関数の公式
Β(x,y)
= 2 ∫[0,π/2] (sinθ)^(2x-1) (cosθ)^(2y-1) dθ
= Γ(x) Γ(y) / Γ(x+y)
を使おうと思った訳ですね。そこまでは、了解です。

貴方のアイディアどおりやると
∫[0,π/2] (sinθ)^(1/2) dθ = (1/2) Β(3/4,1/2) = (1/2) Γ(3/4) Γ(1/2) / Γ(5/4),
∫[0,π/2] (sinθ)^(-1/2) dθ = (1/2) Β(1/4,1/2) = (1/2) Γ(1/4) Γ(1/2) / Γ(3/4)
となります。

ガンマ関数の公式より Γ(1 + 1/4) = (1/4) Γ(1/4) を使って
両者の積を約分すれば、
∫[0,π/2] (sinθ)^(1/2) dθ・∫[0,π/2] (sinθ)^(-1/2) dθ = Γ(1/2) ^2　です。
Γ(1/2) = √π は、知っていますよね。

一瞬、オイラーの相反公式の例題なのかと思いましたが、
そうでもないようですね。

回答No.1

Tacosan

∫[0,/2]sinθ^(1/2)dθ の意味が分からん (/2 ってなんだよ) が, どうして Γ(3/4) や Γ(1/4) を求める必要があると思ったの?