ベストアンサー 詳しく教えていただけないでしょうか？ 2003/11/04 23:39 積分区間【０→π/2】∫sin^3θcos2θdθ 解き方がいまいち分かりません。お願いします。 みんなの回答 （1） 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー adinat ベストアンサー率64% (269/414) 2003/11/05 02:36 回答No.1 反則技を教えます。 (Sin[x])^3Cos[2x] を参考URLの積分記号の中に放り込みます。 そうすると不定積分が計算されます。 その式をF(x)とおけば、求める答えは F(π/2)-F(0)です。 なお結果は-(1/2-1/8+1/40)=-2/5ですか。 真面目に手計算でやるアイデアは、 とりあえず3倍角の公式を使うことです。 Sin[3x]=3Sin[x]-4Sin[x]^3 です。そこで元の披積分函数は (3Sin[x]-Sin[3x])/4Cos[2x] となります。さらに積和公式より Sin[x]Cos[2x]=(Sin[3x]+Sin[-x])/2 Sin[3x]Cos[2x]=(Sin[5x]+Sin[x])/2 となるので、結局披積分函数は 3/8(Sin[3x]-Sin[x])-1/8(Sin[5x]+Sin[x]) =-Sin[5x]/8+3Sin[3x]/8-Sin[x]/2 あとはこれを積分するだけですが、原始函数は Cos[5x]/40-Cos[3x]/8+Cos[x]/2 となります。 あー、結局最後までやってしまいました。 とりあえず、三倍角、和積公式は必須ですよ～ お忘れでしたら、 三倍角↓ http://www.geocities.jp/tadaomanyobako/oyakudati/3baikaku.html 和積公式↓ http://www.d2.dion.ne.jp/~hmurata/goro/sekiwa.html 参考URL： http://integrals.wolfram.com/index.ja.cgi 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 積分法の応用 積分区間【０→π/2】∫sin^3θcos2θdθ 解き方がいまいち分かりません。お願いします。 複素関数の積分 答えられるのだけでいいのでどなたか是非お願いします；； （1）次の積分（余弦、正弦を含む積分）を計算過程を示して求めよ (1)∫0~π dθ/k+cosθ （ｋ＞１） (2)∫0~2π 1+sinθ/3+cosθ dθ (3)∫0~π cosθ/17-8cosθ dθ （2）次の積分（無限大の区間の特異積分）を計算過程を示して求めよ (4)∫-∞~∞ dx/(1+x^2)^2 (5)∫-∞~∞ x^3/1+x^8 dx (6)∫-∞~∞ x^2/(x^2+1)(x^2+4) dx 重積分の問題なのですが・・・。 重積分の問題なのですが・・・。 ∬(y-6)(x^2+y^2)^(1/2)dxdy 積分区間はx^2+y^2<=4です。 x=rcosθ, y=rsinθとおいて、積分区間の条件より 0<=r<=2, 0<=θ<=2πとおける さらにこのときdxdy=rdrdθとなる 与式=∫[o<-2π]∫[0<-2]{rsinθ-6)(r^2cos^2θ+r^2sin^2θ)^(1/2)}rdrdθ =∬{(rsinθ-6)r^2}drdθ =∫[1/4sinθr^4-2r^3](0<-2)dθ =∫(4sinθ-16)dθ =[-4cosθ-16θ](0<-2π) =(-4-32π)-(-4) =-32π とマイナスになってしまいました、どこが間違えているのでしょうか？ すみませんがよろしくお願いします。 天文学のお話。日本ではどのように考えられていた？ OKWAVE コラム 積分 ∫〈sinθ/｛3+4cos^2(θ)｝〉dx （積分区間:π/3→π/2） これどうやればいいんですか?? 数学の積分についてお願いします！ ∫cos3θcosθ dθの積分の仕方を教えてください ちなみに積分区間はπ／２→０です 計算問題 数学の計算問題です 前回も同様の質問をさせていただきましたが、ルール違反をしていたようです。申し訳ありませんでした。 ∫[-1/2→1](-2x)(1-x^2)^(1/2)dxを計算したいのですが、うまくいきません。 解答では[2/3(1-x^2)^(3/2)]から1,-1/2を代入して計算していっています。 確かにそのようになることは納得できるのですが、1-x^2=1^2-x^2であるからx=sinθとおいて、この問題を解いていきたいと思います。 dx/dθ=cosθ,dx=cosθdθ また積分区間はx(-1/2→1)よりsinθ(-1/2→1),よってθ(-6/π→2/π)となりますよね。 よって∫[-6/π→2/π](-2sinθ)(cos^2θ)^(1/2)cosθdθ=∫[-6/π→2/π](-2sinθ)cos^2θdθ =∫[-6/π→2/π](-sin2θcosθ)dθとなりました。 ここで計算をしていってもなぜか答えが一致しません。 ちなみに答えは-√3/4です。 どこが間違えているのかわかりません。わかる方がいらっしゃいましたら教えていただけると助かります。 よろしくお願い致します。 また、これらとは別によい方法があれば教えていただけると嬉しいです。 数学 積分 (1)F(x)が0≦x≦1で連続な関数である時、∫xF(sinx)dx=π/2∫F(sinx)dxが成立することを示し、 ∫xsinx/3+sinx＾２・ｄｘを求めよ。 積分区間はすべてπから０までです。 t=π-xと置くのか定石とか書いてありますが、なぜこういうことをするのですか? それと、成立することを示した後、なぜsinx/3+sinx＾２をF(sinx)と置くのでしょうか? これはそうしないと解けないのですか? 詳しくお願いします。 (2)∫|1-√2-2sinΘ^2-2√3sinΘcosΘ| 積分区間πから0を求めよ。 絶対値の中を2cos(2Θ+3π)-√2にして、それで(2Θ+3π)をtとかおいて積分区間を7π/3, π/3まではわかるんですが、それから解説だと、9π/4からπ/4までを積分すればいいとなっていますが、なぜでしょうか? 周期関数はどこから区間を始めても、定積分の値は等しいとなっていますが、なぜですか? 周期関数とはsin,cosだけでで表されてるものだけをいうのでしょうか? それ以外に周期的な関数というのは存在するでしょうか? 解説お願いします。 定積分の値 ∫cosφ*exp(A*cosφ+B*sinφ) dφ ∫sinφ*exp(A*cosφ+B*sinφ) dφ いずれも積分範囲は－π～＋π この積分を計算することは可能でしょうか？ ある積分計算の違和感について質問です。 ある積分計算の違和感について質問です。 【問題】 関数sin(x)cos(x)を区間[-π,π]で定積分した値を求めよ。 Int_[-π,π]{sin(x)cos(x)}dx 以上の計算について、次の置換積分による計算は数学的に正しいでしょうか？ 積分区間が0になってしまうところに違和感がありますが、 正しく導けている？？？ 数学的に何が起きているのでしょうか？ 【解答】 t=sin(x)とおく。 このとき、dt = cos(x)より sin(x)cos(x)dx = t dt また，x : -π → π のとき t : 0 → 0 したがって、 Int_[-π,π]{sin(x)cos(x)}dx =Int_[0,0]{t}dt =0 sin(x)cos(x)が奇関数であることや、２倍各の公式sin(x)cos(x)=sin(2x)/2を利用した方法でも答えは０であることはあってるのですが…。 よろしくお願いします。 広義積分 広義積分の問題なのですが，変数変換をすると，積分範囲がどうしても0→0になってしまいます…。 問題は D={(x,y)∈R^2|ε^2≦x^2+y^2≦1} lim(ε→0) ∬{(x^2-y^2)/(x^4+y^4})dxdy という問題なのですが，これを x=rcosθ，y=rsinθ,ヤコビアン=r D'={(r,θ)∈R^2|ε≦r≦1，0≦θ≦2π} ∫(1/r)dr∫{(cos^2θ-sin^2θ)/(cos^4θ+sin^4θ)}dθ =∫(1/r)dr∫{cos2θ/((cos^2θ+sin^2θ)^2-2cos^2θsin^2θ)}dθ =∫(1/r)dr∫{cos2θ/(1-(sin2θ)^2/2)}dθ =∫(1/r)dr∫{2cos2θ/(2-(sin2θ)^2)}dθ ここでt=sin2θと変数変換しようとしたのですが， そうすると積分範囲が0→0になってしまします。。。 どこか間違っているのでしょうか?? どなたか解説お願いします。 三角関数の定積分について ∫cosθｄθ （０≦θ≦π/2） これの解き方ですが cosθを積分したらsinθですよね、 π/2を代入してsinθ＝１ ０を代入してsinθ＝０ これより答えは１－０＝１、これでよかったですか？ 三角関数の定積分の場合も上端、下端の値を入れて 差を取れば良かったんでしたっけ？ それともsin、cosで違ったんでしたっけ？ よろしくお願いします。 回転体の体積 質問です。 曲線 ｘ＝a(θ－sinθ)、y=a(1-cosθ)と直線x=πa、y=0で囲まれた部分をｘ軸の周りに１回転してできる回転体の体積を求めよ。ただし、a>0とする。 解答 dx/dθ=a(1-cosθ)≧0、y≧0 より π∫y^2 dx=π∫a^2(1-cosθ)^2・a(1-cosθ)dθ 以下、積分の計算ですが・・・。 積分区間を 0→πa から、 0→πとなる過程を教えてください。 よろしくお願いします。 日本史の転換点？：赤穂浪士、池田屋事件、禁門の変に見る武士の忠義と正義 OKWAVE コラム 三角関数の積分について ∫sin^2(x)cos(nx)dx n=0,1,2,3・・・ ∫sin^2(x)cos(nx)dx n=0,1,2,3・・・ 積分区間は0～2π という問題なのですが、どうやったらいいかまったくわかりません。 よかったら指針などでもよいのでご教授お願いします。 ｓｉｎθ・ｃｏｓθの積分に付いて π/2 ∫(ｓｉｎθ・ｃｏｓθ)ｄθ 0 π/2 ＝1/2∫(ｓｉｎ2θ)dθ ・・・(１) 0 π/2 ＝1/4[-cos2θ] ・・・(２) 0 ＝(1/4)(1+1) ＝1/2 これは、置換せずに積分できたと言う理解で良いのでしょうか？ それとも、間違いでしょうか？ (１)で、2θ＝φ と置換した場合、(２)は π ＝1/4[-cosφ] 0 ＝1/2 式の表し方で迷うことが良くあります。 線積分 原点を中心とする半径１の円に反時計回りに向き付けを与えた閉曲線をcとするとき、次の線積分を求めよ。 ∫c (x^2+y^2)dx + xydy という問題なのですが、x=cosθ,y=sinθ,0≦θ＜2πと置き、積分を進めていくと、 ∫ (cosθ)'+sinθcosθ(sinθ)' dθ =0+1/2∫(cos2θsinθ+sinθ)dθ =0 になってしまったのですが、答えは０にはならないですよね？どこが違うか教えてください。お願いします。 積分 1/sin^3x 問題 積分 1/sin^3x 問題 ∫{1/(sin x)^3}dxについて 調べた結果、sinx=cos(x-π/2)として、θ=x-π/2と置換する。 ∫{1/(cos（x-π/2）)^3}dx （x-π/2）=θとおくと、dθ/dx＝1よりdθ=dx ∫{1/(cosθ)^3}dθとなります。 あとは、1/cos^3xの積分と同じで、 1/2（sinθ/cos^2θ）+1/4log（1+sinθ/1-sinθ）+C のθをx-π/2に戻すと、 1/2（sin（x-π/2）/cos^2（x-π/2））+1/4log（1+sin（x-π/2）/1-sin（x-π/2））+C で答えは合っているのでしょうか？ cos^2（x-π/2）=sin^2xとしなければいけないのでしょうか？ ご回答よろしくお願い致します。 留数定理を応用した定積分 m, n を偶数とするとき, ∫[0→2π] sin^m(θ) dθ, ∫[0→2π] cos^n(θ) dθ, を計算する問題が解けません。 三角関数の積分で区間が, [0→2π] の例題が参考書に１問だけあって、その問題は解けたのですがこの問題に応用できません。 できれば途中の考え方と答を教えてください、よろしくお願いします。 球面上の積分 球面上の積分 単位球Ｓ上で、以下の関数を積分することを考えております。 ｆ =1/(a-bx) つまり、 ∫∫∫1/(a-bx)dxdydz しかしながら、この積分の仕方が分かりません。 ヒントだけでもいいので、教えてください。 ちなみに、 x=cosφcosθ と変形し、 ∫∫sinθ/(a-bcosφcosθ)dφdθ を ０≦φ≦２π、０≦θ≦π で積分するところまで考えたのですが、この先の計算方法が分かりません（分子にはsinθしかなく、sinφがないので）。 積分の問題です こんにちは。 ∫[-1,1] {x*(4x^3 - 3x)}/√（1-x^2） dx を計算せよ という問題の答えを教えていただきたいです。 自分でやってみたところ、 x=cosθ(0≦θ≦π)と置いて、4x^3-3x＝cos3θとなることを利用すると、与式は ∫[0,π] cosθcos3θdθ ＝3∫[0,π]sinθsin3θdθ （部分積分） ＝9∫[0,π]cosθcos3θdθ （もう一度部分積分） となるため、結局答えが0になってしまうのですが、これで合っているでしょうか？ どうぞよろしくお願いします。 積分範囲は0から3π/4 積分範囲は0から3π/4 1/2π?100sinθdθ =100/2π*[-cosθ] =50/π*[(-cos3π/4)-(-cos0)] =50/π*(1/√2+1) 上記の計算であっているでしょうか？ 注目のQ&A 「You」や「I」が入った曲といえば？ Part2 結婚について考えていない大学生の彼氏について 関東の方に聞きたいです 大阪万博について 駅の清涼飲料水自販機 不倫の慰謝料の請求について 新型コロナウイルスがもたらした功績について教えて 旧姓を使う理由。 回復メディアの保存方法 好きな人を諦める方法 小諸市（長野県）在住でスキーやスノボをする方の用具 カテゴリ 学問・教育 人文・社会科学 語学 自然科学 数学・算数 応用科学（農工医） 学校 受験・進学 留学 その他（学問・教育） カテゴリ一覧を見る OKWAVE コラム 突然のトラブル？プリンター・メール・LINE編 携帯料金を賢く見直す！格安SIMと端末選びのポイントは？ 友達って必要？友情って何だろう 大震災時の現実とは？私たちができる備え 「結婚相談所は恥ずかしい」は時代遅れ！負け組の誤解と出会いの掴み方 あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト コスメ化粧品 化粧水・クレンジングなど 健康食品・サプリ コンブチャなど バス用品 入浴剤・アミノ酸シャンプーなど スマホアプリ マッチングアプリなど ヘアケア 白髪染めヘアカラーなど インターネット回線 プロバイダ、光回線など
