微積の問題です 至急お願いします

質問

至急お願いします

微積分の問題です
y=x^2 上の２点 A（a,a^2),B(b,b^2) （ただしa<b） がある

直線ABに平行なこの放物線の接線を引き、その接点をCとする

(1) 直線ABと放物線で囲まれた部分の面積を求めよ

(2) △ABCの面積を求めよ

解答の流れなど詳しい説明が知りたいのでよろしくお願いします

回答No.2

ferien

微積分の問題です
y=x^2 上の２点 A（a,a^2),B(b,b^2) （ただしa<b） がある

直線ABに平行なこの放物線の接線を引き、その接点をCとする

>(1) 直線ABと放物線で囲まれた部分の面積を求めよ

直線ＡＢの式は、
傾き＝（ｂ^2－ａ^2）／（ｂ－ａ）＝ａ＋ｂ
ｙ＝（ａ＋ｂ）ｘ－ａｂ

面積は、ａ～ｂの範囲で、｛（ａ＋ｂ）ｘ－ａｂ｝－ｘ^2　を積分する。
結果は、（１／６）（ｂ－ａ）^3　になりました。

>(2) △ABCの面積を求めよ

接点Ｃのｘ座標をｐとする。
ｙ’＝２ｘより、接線の傾き＝２ｐ　これが直線ＡＢの傾きと等しいから、
２ｐ＝ａ＋ｂ　より、ｐ＝（１／２）（ａ＋ｂ）……（１）
接点Ｃのｘ座標が（１）だから、Ｃのｙ座標＝（１／４）（ａ＋ｂ）^2
接点Ｃを通るｘ軸の垂線を直線ＡＢまでのばし、交点をＤとすると、
ｘ座標が（１）だから、Ｄのｙ座標は＝（１／２）（ａ＋ｂ）^2－ａｂ
△ＡＢＣの面積は、底辺も高さも同じ三角形２つ分である。
底辺＝Ｄのｙ座標－Ｃのｙ座標
高さ＝Ｃのｘ座標－Ａのｘ座標＝Ｂのｘ座標－Ｃのｘ座標＝（１／２）（ｂ－ａ）
△ＡＢＣの面積
＝（１／２）×｛(1/2)（ａ＋ｂ）^2－ａｂ－(1/4)（ａ＋ｂ）^2｝×(1/2)（ｂ－ａ）×２
＝（１／８）（ｂ－ａ）^3　になりました。

（２）についてはグラフを描いてみれば分かります。計算は自分でやって下さい。

回答No.1

OpenMind_hk

(1)
直線ABの式を出す
y=x^2と直線ABの交点を範囲として積分
面積が求まる

(2)
ABの傾きを求める
式を微分して接線がABの傾きと等しくなるy=x^2上の点を出す，これが点C
3点の座標が分かったので，あとは面積を求めればよい

余計なお世話かもしれませんが，
途中計算まで書いてもらって楽をしようという考えは捨てましょう．