楕円の極座標による表示

質問

xy 平面上の楕円 E:(x/a)^2+(y/b)^2≦1 の極座標 (r,θ) による表示が、
F={ (r,θ) | 0≦r≦ab/√((b*cosθ)^2+(a*sinθ)^2) , 0≦θ≦2π }
となることを示すためには、どうすればよいでしょうか。
どなたか教えて頂けませんでしょうか。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

E:(x/a)^2+(y/b)^2≦1　(a>0, b>0)
に極座標の変換式
　x=rcosθ,y=rsinθ
　ここで　0≦r,0≦θ≦2π
を代入してみてください。
　(r/a)^2*cos^2（θ）+(r/b)^2*sin^2(θ)≦1
両辺に(ab)^2>0 を掛けて,r^2を括り出すと
　(r^2){(b*cosθ)^2+(a*sinθ)^2}≦(ab)^2
両辺を{(b*cosθ)^2+(a*sinθ)^2}>0で割って
　r^2≦(ab)^2/{(b*cosθ)^2+(a*sinθ)^2}
0≦r,ab>0より、両辺の平方根をとって
　r≦ab/√{(b*cosθ)^2+(a*sinθ)^2}
が得られます。
このrに、0≦r,0≦θ≦2πの条件を加えれば
F={ (r,θ) | 0≦r≦ab/√((b*cosθ)^2+(a*sinθ)^2) , 0≦θ≦2π}
なる極座標領域への変換が得られます。

お礼

非常に詳しい説明、本当にありがとうございます。

回答No.1

noname#185374

E の方程式で x と y を r と θ で・・・

補足

もう少し詳しく説明して下さると助かるのですが・・・