相加平均≧相乗平均が通じない場合・・・

質問

相加平均≧相乗平均が通じない場合があったと思うのですが忘れてしまいました。

たしか、相乗平均が定数にならない場合だったと思うのですが、
でもって、左辺のグラフと右辺のグラフを書いてみると、
左辺＝右辺の場合（グラフが接しているとき）の変数（仮にxとします）の値と、
左辺が最小値をとるときのxの値が異なる・・・と記憶しているのですが、
具体例を忘れてしまいました。

どなたか，具体例と解説をお願いできないでしょうか？

回答No.1

noname#185374 · ベストアンサー

その不等式は，両辺（>0）が x の関数である場合には x の各値に対して成り立ちます．そのことと，左辺の最小値がどうであるかとは，一般には関係ありません．

例
x^2 + (1/x) >= 2 √x　(x > 0)．

等号が成り立つのは x = 1 のとき．

左辺が最小値をとるのは
その導関数 2x - 1/x^2 = 0
のとき．つまり
x = (1/2)^(1/3) ≠ 1
のとき．