統計の問題です。

質問

ｓ、ｔがそれぞれ独立で、平均０、分散σ^２の正規分布に従うとする。
１回目の試行 a（１＋s）、（a>0）を行い、a（１＋s）が１を超えていなかった場合に
その状況を踏まえ、２回目の試行 b（１＋t）、(b>0)を行うとする。

i) 下記の条件を満たすaをσを使って表せ。

全（１回または２回）の試行合計が１を超える確率が９９．９９％　・・・　(1)
その中で、全（１回または２回）の試行合計の期待値が最小　・・・　(2)

ii) １回目の試行後、ｂをどのように求めればよいか、σ、a、ｓを用いて表せ。

回答No.7

noname#227064

度々すみません。
ANo.6ですが、これも駄目でした。
この方法ですと、a=0, b=1/(1-3.719σ)に設定してしまいますね。

Φ((1-a)/(aσ))Φ((1-b-a(1+s))/(bσ)) = 0.0001
という条件ではなく
∫[-∞, (1-a)/a]φ(s/σ)Φ((1-b-a(1+s))/(bσ))/σds = 0.0001
とするべきでした。
しかし、これからa, bを決定するのは私では力不足のようです。

補足

なかなか難しいですね。お手数をお掛けしてしまいました。

回答No.6

noname#227064

ANo.5補足
> １回目で99.99%の設定にすると、2回の試行を合わせると99.99%を超えてしまいます。
> 残念ながら、コスト最小とはいかないと思えます。

どうしてもコストを最小にしたいのですね。
では、ANo.1の方法でもう少し考えてみましょう。

Φ((1-a)/(aσ))Φ((1-b-a(1+s))/(bσ)) = 0.0001
という条件があるので、これからsが得られたのちにbの値を決定することができます。
b = (1-a(1+s))/(1+σΦ^(-1)(0.0001/Φ((1-a)/(aσ))))

次に試行合計の期待値ですが、
a(1+s)>1のときはa(1+s)、a(1+s)≦1のときはa(1+s)+b(1+t)が試行合計になるので、その期待値は
∫[(1-a)/a, ∞]∫[-∞, ∞]a(1+s)φ(s/σ)φ(t/σ)/σ^2dtds+∫[-∞, (1-a)/a]∫[-∞, ∞](a(1+s)+b(1+t))φ(s/σ)φ(t/σ)/σ^2dtds
= ∫[-∞, ∞]∫[-∞, ∞]a(1+s)φ(s/σ)φ(t/σ)/σ^2dtds+∫[-∞, (1-a)/a]∫[-∞, ∞]b(1+t)φ(s/σ)φ(t/σ)/σ^2dtds
= a+∫[-∞, (1-a)/a]bφ(s/σ)/σds
= a+∫[-∞, (1-a)/a]((1-a(1+s))/(1+σΦ^(-1)(0.0001/Φ((1-a)/(aσ)))))φ(s/σ)/σds
= a+∫[-∞, (1-a)/(aσ)]((1-a(1+σs))/(1+σΦ^(-1)(0.0001/Φ((1-a)/(aσ)))))φ(s)ds
= a+(1-a(1+σ∫[-∞, (1-a)/(aσ)]sφ(s)ds))/(1+σΦ^(-1)(0.0001/Φ((1-a)/(aσ))))
= a+(1-a(1+σφ((1-a)/(aσ))))/(1+σΦ^(-1)(0.0001/Φ((1-a)/(aσ))))
となります。
従ってこれが最少になるようにaを設定すれば良いことになります。
勿論ANo.1で示した範囲も満たす必要があります。

回答No.5

noname#227064

ANo.4補足
> 例えば、内容量１００ｇと表示されている食べ物（ここでは、キャビアとでもしておきましょう。）を容器に詰めることを考えていることを伝えたかったのです。

そういう話であれば、1回目で99.99%の確率で1を超えるように設定し、2回目は99.99%の確率で足りない量が入るように設定する、つまり
a = 1/(1 -3.719σ)
b = (1-a(1+σs))/(1-3.719σ)
とするのが簡単ではないでしょうか。

ANo.4は最初にa,bを決めておいて、トータルの合計が1を超える確率が99.99%になるようなa,bを求める場合です。
ANo.1は最初にaだけ決めておいて、トータルの合計が1を超える確率が99.99%になるようなaを求める場合です（この場合bはa,sの値で決定される）。

補足

１回目で99.99%の設定にすると、2回の試行を合わせると99.99%を超えてしまいます。
残念ながら、コスト最小とはいかないと思えます。

回答No.4

noname#227064

ANo.3に追加
> これを満たすa,bを求めるのは簡単ではありませんが
> 0 ≦ Φ(-1/σ) ≦ Φ((1-a(1+σx)-b)/(bσ)) ≦ 1
> という条件から

この不等式は
-∞< x ≦ (1-a)/(aσ)
を満たすときに成り立ちます。

補足

すみません。問題の意図が伝わってないかもしれません。

例えば、内容量１００ｇと表示されている食べ物（ここでは、キャビアとでもして
おきましょう。）を容器に詰めることを考えていることを伝えたかったのです。

１００ｇは超えないといけないけど、コストを下げるために、できるだけ超える量
は少なくしたい。しかも一度容器に入れたキャビアはもとには戻せない。

そんな問題と考えて頂ければと思います。

なので、１回目にどれだけ入れれば（より正確には、入れようとすれば）よいかは求
まるのではないかなぁと思ってるんですが、私にはちょっと難しいのです。１回目
に例えば、９９ｇ入ったとすると、二回目は１ｇちょっとを目標にすればよいはず
なので、ｂも求まりそうに「感じて」ます。問題をちゃんと書けていないのかもし
れません。

いかがでしょうか？いろんなところで、応用が利きそうですよね？

回答No.3

noname#227064

i) (1)についてもう少し考えてみました。

標準正規分布の確率密度関数をφ、分布関数をΦとします。

a(1+s) > 1 となる確率と s ≦ (1-a)/a であるときに a(1+s)+b(1+t) > 1 となる確率の和が99.99%にならなければいけないので、a, bは次の等式を満たす必要があります。

0.9999 = ∫[(1-a)/a, ∞](φ(s/σ)/σ)ds + ∫[-∞, (1-a)/a]∫[(1-a(1+s)-b)/b, ∞](φ(s/σ)φ(t/σ)/σ^2)dtds
= ∫[(1-a)/(aσ), ∞]φ(x)dx + ∫[-∞, (1-a)/(aσ)]∫[(1-a(1+σx)-b)/(bσ), ∞]φ(x)φ(y)dydx
= 1-∫[-∞, (1-a)/(aσ)]φ(x)dx + ∫[-∞, (1-a)/(aσ)]φ(x)∫[(1-a(1+σx)-b)/(bσ), ∞]φ(y)dydx
= 1-∫[-∞, (1-a)/(aσ)]φ(x)(1-∫[(1-a(1+σx)-b)/(bσ), ∞]φ(y)dy)dx
= 1-∫[-∞, (1-a)/(aσ)]φ(x)∫[-∞, (1-a(1+σx)-b)/(bσ)]φ(y)dydx
= 1-∫[-∞, (1-a)/(aσ)]φ(x)Φ((1-a(1+σx)-b)/(bσ))dx
すなわち
∫[-∞, (1-a)/(aσ)]φ(x)Φ((1-a(1+σx)-b)/(bσ))dx = 0.0001

これを満たすa,bを求めるのは簡単ではありませんが
0 ≦ Φ(-1/σ) ≦ Φ((1-a(1+σx)-b)/(bσ)) ≦ 1
という条件から
Φ(-1/σ)Φ((1-a)/(aσ)) ≦ ∫[-∞, (1-a)/(aσ)]φ(x)Φ((1-a(1+σx)-b)/(bσ))dx = 0.0001 ≦ Φ((1-a)/(aσ))
なので、これからaの範囲をある程度絞れます。

0.0001 ≦ Φ((1-a)/(aσ))
から得られる範囲はANo.1で示した通り。

i) (2)については、二回目の試行が確率1-Φ((1-a)/(aσ))でb(1+t)、確率Φ((1-a)/(aσ))で0となると考えれば、試行合計の期待値は
a + (1-Φ((1-a)/(aσ)))b
となることがわかります。
これが最少になるようにaを設定することになるのですが…
どうすればいいんでしょうかね？

ii)はbをどう設定しろと言っているのかがわからないので答えられません。

回答No.2

noname#227064

ANo.1
Φ((1-b-a(1+s))/(bσ))にsが入っていたら独立にはならなかったですね。
やっぱり駄目でした。
ということでANo.1は無視してください。

補足

ありがとうございます。私ももう少し考えてみたいと思います。
回答は、引き続きお待ち申し上げております。

よろしくお願いいたします。

回答No.1

noname#227064

標準正規分布の分布関数をΦとします。

一回目の試行a(1+s)が1を超える確率はsがN(0, σ^2)に従うことから
Pr{a(1+s) > 1}
= Pr{s > (1-a)/a}
= Pr{s/σ > (1-a)/(aσ)}
= 1-Pr{s/σ ≦ (1-a)/(aσ)}
= 1-Φ((1-a)/(aσ))
となる。

確率Φ((1-a)/(aσ))で二回目の試行を行うことになり、この条件下での試行の合計が1を超える確率はtがsとは独立にN(0, σ^2)に従うことから
Pr{a(1+s)+b(1+t) > 1}
= Pr{t > (1-b-a(1+s))/b}
= Pr{t/σ > (1-b-a(1+s))/(bσ)}
= 1-Pr{t/σ ≦ (1-b-a(1+s))/(bσ)}
= 1-Φ((1-b-a(1+s))/(bσ))
となる。

従って、合計が1を超える確率は
1-Φ((1-a)/(aσ))+Φ((1-a)/(aσ))(1-Φ((1-b-a(1+s))/(bσ)))
= 1-Φ((1-a)/(aσ))Φ((1-b-a(1+s))/(bσ))
これが0.9999でなければいけないので
Φ((1-a)/(aσ))Φ((1-b-a(1+s))/(bσ)) = 0.0001
これはΦ((1-a)/(aσ))とΦ((1-b-a(1+s))/(bσ))とを軸にグラフを描けば直交双曲線になる。

Φ((1-a)/(aσ))もΦ((1-b-a(1+s))/(bσ))も上限は1であることから
Φ((1-a)/(aσ)) ≧ 0.0001
⇔ (1-a)/(aσ) ≧ Φ^(-1)(0.0001)
⇔ 1-a ≧ aσΦ^(-1)(0.0001)
⇔ 1 ≧ a(1+σΦ^(-1)(0.0001))
これからi) (1)の条件を満たすには
1+σΦ^(-1)(0.0001) > 0 ⇔ σ < -1/Φ^(-1)(0.0001) = 0.2689
ならば
a ≦ 1/(1+σΦ^(-1)(0.0001)) = 1/(1 -3.719σ)
σ ≧ 0.2689ならばa > 0であれば良いということがわかる。

というようにi) (1)だけ考えてみましたが、こんな解答でOKなのでしょうか？