関数を教えて下さい

質問

座標平面上に直線ｌ１：ｙ＝３／４ｘと点Ａ（８，６）がある。また、点Ａを通りｌ１に垂直な直線をｌ２とする
（１）ｌ２の方程式を求めよ。
（２）中心がｌ２上にあり、ｙ軸とｌ１の両方に接する円のうち、ｌ１の上側にある円をＣ１とする。Ｃ１の方程式を求めよ。
（３）（２）のとき、ｌ１上の点Ｂ（４，３）を通りＣ１に接する直線のうち、ｌ１と異なる直線をｌ３とする。ｌ３の方程式を求めよ。また、ｌ１、ｌ３の上側にあり、ｌ１とｌ３の両方に接し、かつＣ１に外接する二つの円のうち、半径が小さい方の円の中心のｘ座標を求めよ。

回答No.1

oyaoya65 · ベストアンサー

(1)
l2 : y=-(4/3)(x-8)+6
or
4x+3y=50

(2)
円の中心の座標B(X,Y)
l1:y=(3/4)x → 3x-4y=0
X=|3X-4Y|/√(3^2 +4^2)
5X=|3X-4Y|
これを解くと
(X,Y)=(5,10),(20,-10)
円の中心がl1の上側にある方は(X,Y)=(5,10)なので
求める円の方程式は
　(x-5)^2 +(y-10)=25　…(☆)

(3)
求める接線の方程式を
　y=m(x-4)+3　…(★)
とおき（★）が（☆）に接する条件から
　(x-5)^2 +(m(x-4)+3-10)^2=25
　(1+m^2)x^2 -2(4m^2 +7m+5)x+16m^2+56m+49=0
これが重解を持つようにmを決める。重解条件から
　判別式D/4=(4m^2 +7m+5)^2-(1+m^2)(16m^2+56m+49)
=2(12m^2+7m-12)=2(3m+4)(4m-3)=0
∴ m=-4/3, 3/4
l1の傾きmと一致するm=3/4は除けば　m=-4/3
（★）のmを代入して求める接線は
l3：y=-(4/3)(x-4)+3　or　y=-(4/3)x+(25/3)
となる。
求める円の中心座標を(X,Y),半径をrとおくと
　Y=7(X-4)+3 (Y>3)
　|3X-4Y|/5=r
r(1+√2)+5=5√2
これらから　(X,Y)=(7-2√2,24-14√2)

求める必要はないが　
　rは r=5(3-2√2)
円の方程式は
　(x-7+2√2)^2 +(y-24+14√2)^2=25(3-2√2)^2
となります。
できればグラフ用紙にプロットして見てみると良いでしょう。