必要十分条件の考え方

質問

条件P、Q、Rを次のように定める。

P：A＝1
Q：A＝1かつB＝8　
R：A＝1かつB＝8　または　A＝－1かつB＝－8

この時の必要十分条件を判定したいのですが、P→QやP→Rが明らかに成り立たないのは分かります。ですが、Q→PやR→Pのように「かつ」「または」と複数の条件が重なってくると混乱してさっぱり分からなくなってしまいます。「または」という時は片方だけ成り立てば良いということでしょうか？条件が重なったときはどうやって考えれば良いのでしょうか？非常に苦手みたいなので解法のコツなどありましたら是非アドバイスお願いします。

回答No.1

liar_adan · ベストアンサー

基本的なことからいうと、
「かつ」は両方成り立つとき。
「または」は少なくとも一方が成り立つとき。(両方成り立っていても良い)

「1+1＝2」「1+2＝3」「2+2＝5」を例に取ると、
「1+1＝2」かつ「1+2＝3」　は成り立つ。
「1+1＝2」かつ「2+2＝5」　は成り立たない。
だが
「1+1＝2」または「2+2＝5」　は成り立つ。

考え方のコツとしては、カッコをつけて考えるやりかたがあります。
カッコによって範囲を見やすくします。
たとえば3番目のやつは、
(A＝1かつB＝8)　または　(A＝－1かつB＝－8)
と書くことができます。さらには
((A＝1)かつ(B＝8))　または　((A＝－1)かつ(B＝－8))
とすることもできます。
もっとも、つけすぎるとかえってわかりにくいかもしれないけど。

「かつ」「または」がわかりにくいなら、
「and」と「or」に置き換えてみるといいかもしれません。
(A＝1 and B＝8) or (A＝－1 and B＝－8)
これは好みの問題ですが。

「かつ」のときは、命題を分解できます。
たとえばQ→Pについていうと、
Qから「A＝1」と「B＝8」が言えます。
つまり
「A＝1が成り立つ」と
「B＝8が成り立つ」の両方が言えるわけです。
そう考えるとPが成り立つのはわかりますね。

それに対して「または」のときは分解できません。たとえばRの場合
「A＝1かつB＝8」と「A＝－1かつB＝－8」の
どちらかは成り立っていますが、それがどちらなのかわかりません。
「A＝1かつB＝8」の方が成り立っていたら、そこから
「A＝1」が言えますが、
「A＝－1かつB＝－8」の場合だってあるわけです。
だからR→Pは成り立ちません。

お礼

非常に分かりやすく良く理解できました！
ありがとうございます！！

回答No.3

HOGERA3

数式を日本語に置き換えます。
Ｐ：「晴れている」
Ｑ：「晴れている」 かつ 「風が弱い」
Ｒ：「晴れている」 かつ 「風が弱い」 または
　　「あったかい」 かつ 「明るい」

さらに置き換え。
Ｐ：「晴れている」
Ｑ：「晴れてて風が弱い」
Ｒ：「晴れてて風が弱い」 じゃなかったとしても
　　「あったかくて明るい」

これでどうでしょう？

お礼

確かに置き換えてみると分かりやすくなりました！
ありがとうございます！

回答No.2

eatern27

条件p,qを満たす集合をそれぞれ、Ｐ，Ｑとします。

この場合、
「ｐ⇒ｑが成り立つ」ということは、「Ｐ⊂Ｑ」を意味します。（「Ｐ⊂Ｑ」というのは、ＱがＰを含んでいるということです）

「ｐまたはq」という条件はＰ∪Ｑ(ＰとＱの和集合)で、
「ｐかつｑ」という条件はＰ∩Ｑ(ＰとＱの共通部分)です。

ｐ⇒ｑが成り立つ場合、(Ｐ⊂Ｑの場合)
ｐは(qが成り立つための)十分条件
ｑは(pが成り立つための)必要条件
といいます。
特にｐ⇔ｑが成り立つ場合は、「必要十分条件」といい、このとき、Ｐ＝Ｑとなっています。

このように集合の包含関係で必要条件・十分条件を考えると、考えやすいです。

＞「または」という時は片方だけ成り立てば良いということでしょうか？
「片方だけ」ではなく「片方だけでも」です。
どちらか片方のみが成り立っている場合でもいいし、両方が成り立っている場合でもいいです。(「両方とも成り立っていない」という状況でなければいい)

では、質問のもので考えます。

上の部分で条件を小文字でp,qなどと表したので、
Ａ＝１という条件をｐ、
Ａ＝1かつＢ＝８という条件をｑ
(Ａ＝１かつＢ＝８)または(Ａ＝-1かつＢ=-8)という条件をｒ
のように小文字で表すことにします。また、条件p,q,rを満たすA,Bの集合をP,Q,Rとします。

では、集合P,Q,Rを図示してみましょう。
AB平面上で考えますが、もし分からなければxy平面上で考えてください。括弧の中がxy平面上で考えたものです。
集合Pは、直線A=1（直線x=1)
集合Qは、点(1,8)
集合Rは、2点(1,8)、(-1,-8)
を表します。この場では図示できないので、紙に自分で図示してください。

このように考えてみると
Q⊂P、Q⊂Rが成り立つことが分かります。
ですので、q⇒p、q⇒rです。

私にとっては、必要条件、十分条件の判定をするときは、図示して考えた方が分かりやすいです。脳で考えなくても、見ればわかりますので。図示するという方法が分かりやすければ、参考にしてください。

お礼

図示という考えは思いつきませんでした。
うまく活用してみたいと思います！ありがとうございます！