ラウエ条件とブラッグ条件

質問

ラウエ条件からブラッグ条件を導出することについて躓いているので教えてください。

散乱される波数ベクトルをs 、基本ベクトルをa とするとラウエ条件は
(1)　s・a = 2πn　n∈整数
ですが、(1)の左辺の内積を書き換えると
(2)　|s||a|cosθ = 2πn
となり、更に波数ベクトルを波長で表せば
(3)　(2π/λ)|a|cosθ = 2πn
これを更に書き換えれば
(4)　|a|cosθ = nλ
これがブラッグ条件に相当する、とX線回折の本には書いてあるのですが、ブラッグ条件は一般的に
(5)　2d sinθ = nλ
のようにサインの形で書かれておりどうやって一致させているのかが分からず困っております。
角度の取り方がラウエ条件を考察する際とブラッグ条件を考察する際に違うのでしょうか？教えていただければ幸いです。

回答No.1

KENZOU

＞散乱される波数ベクトルをs 、基本ベクトルをa とする
＞とラウエ条件は
＞(1)　s・a = 2πn　n∈整数
この(1)式は逆格子ベクトルと結晶の位置ベクトルの関係式を表していますね。つまり、ｓを「逆格子ベクトル」とし、ｄを結晶の位置ベクトルとすると
　ｓ・ｄ＝2πn　　(2)
が成り立ちます。
ラウエ条件は入射波の波数ベクトルをk1、反射波の波数ベクトルをk2、逆格子空間の原点から〈hkl）なる逆格子点に至るベクトルをｓ(hkl)とすると
　　ｓ(hkl)＝△ｋ　　(3)
で表されます。ここでｓ(hkl)は
ｓ(hkl)＝ha* + kb* + lc*
で定義され、ｓは実格子の格子面（hkl）に垂直で大きさ｜ｓ｜は（hkl）面の面間隔ｄ(hkl)の逆数に等しいという性質をもっています（a*,b*,c*は逆格子ベクトル）。
いま、弾性散乱を仮定しますので
　|k1|＝|k2|＝|k|　　(4)
とおけます。すると△ｋは（絵を書けばよく分かる）
　△k＝2ksinθ　　(5)
となります。波数ベクトルkはｓ方向を向いていますね。(3)より
　2ksinθ＝ｓ　　(6)
両辺にベクトルdをかけると、(2)を使って　　
　2kdsinθ＝ｓ・d＝2πn　　(7)
また、k＝2π/λ　であるから(7)は
　2(2π/λ)dsinθ＝2πn
これから
　2dsinθ＝nλ　(8)
でいいと思いますが。

お礼

KENZOUさん、回答ありがとうございます。
私が訊きたかった事は、

|a|cosθ = 2d sinθ　　　= nλ

となるのか？
と言うことだったのですが、質問を投稿した後に自分で考えてみたところすっきりと解決しましたので取り消そうと思っているうちにKENZOUさんから回答を頂きました。
また別の機会に教えていただきたいことがあると思いますので、その時はよろしくお願いいたします。