ラウエ関数

質問

ラウエ関数の導出の仕方が分からず困っています。
簡潔に書きますと散乱ベクトルがs、基本ベクトルがaの時に

Σ_u{exp(-iu s・a)}が
（u ＝１～Ｎ）

sin(iN s・a /2)
________________

sin(i s・a /2)

となるようなのですが、この導出についてはどの本を読んでも結果が書かれているだけで途中経過について詳しく書かれてはいないのです。
また、極大を持つ条件は分かるのですが、極大値がN^2になることも今ひとつ理解に苦しんでいます。
参考文献や参考ＵＲＬでも結構ですので教えてください。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

まず，sin の中身の i は余分ですね．

(1)　　Σ{u=1～N} {exp(-iu s・a)}
が
(2)　　sin(N s・a /2) / sin(s・a /2)
とならないのは N=1 とおいてみれば明らかでしょう．

問題にするべきは散乱強度ですから
(3)　　G = |Σ{u=1～N} {exp(-iu s・a)} |^2
です(絶対値の２乗)．
(1)は等比級数の和の形ですから，和は簡単に求められて
(4)　　G = |sin(N s・a /2)|^2 / |sin(s・a /2)|^2
を導くのは難しくないでしょう．
波を sin で記述していると，
和を求めるのに多少トリッキーなことをしないといけませんが，
上のように簡単にできるのが複素表示の利点の１つです．

(4)は
(5)　　N s・a /2 = πの整数倍
のところでゼロになりますが(分子がゼロになる)，
(6)　　s・a /2 = πの整数倍
が同時に成り立つときはゼロにならず極大になります(分母もゼロになる)．
この極大を主極大と呼んでいます．
主極大の高さが N^2 になることの本質は
(7)　　lim_{x→0} |sin(Nx)/sin(x)|^2 = N^2
です．
N は関連する原子数ですから，非常に強い極大になります．

お礼

siegmundさん、回答ありがとうございます。
私も虚数iが余計ではないかと思っていたのですが、本によってラウエ関数の表記が違っていたりして困っていたのです。そこを指摘していただけただけで大変参考になりました。