関数について

質問

関数についての質問をします。
ある２本の直線が垂直に交わるときに、その２本の式はどうなりますか？
例えば、ｙ=2xの直線に垂直に交わる直線の式の求め方はありますか？

回答No.3

banakona · ベストアンサー

＞例えば、ｙ=2xの直線に垂直に交わる直線の式の求め方はありますか？

ありますよ・・・というか一意には定まらない。左図の様にｙ＝２ｘに垂直な直線というのは無数にあるので、傾きが定まるということになる。

垂直な2直線の傾きは、掛けると－１になる。

直線ｙ＝２ｘの傾きは「２」なので傾きが「-1/2」の直線たとえばｙ＝(-1/2)ｘ＋５やｙ＝(-1/2)ｘ－３なら垂直に交わる。

注意として、元の直線が右図のｙ＝３のように傾きが０の場合は、「掛けて－１になる傾き」が存在しないので、この場合の垂直な直線は　ｘ＝２　などの形になる。逆にもとの直線が　ｘ＝２　といった形なら　ｙ＝１　といった形になる。

回答No.2

info22_

２直線の直交条件は、教科書にも載っていると思います。
２直線の傾きをm,nとすると直交条件は

　mn=-1

です。

y=2x の場合 m=2　なので n= -1/m = -1/2

従って直交する直線の式を　y=nx + k(kは任意定数)
とおくと　n= -1/2 なので

　y=-x/2 + k (kは任意定数)

となります。

回答No.1

gohtraw

例えば、ｆ（ｘ）＝ａｘという関数を考えたとき、ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフ上にある点の座標の例は（１，ａ）ということになります。これに対し直交する関係にあるｇ（ｘ）という関数を考えると、ｙ＝ｇ（ｘ）のグラフ上にある点の例は（ａ、－１）となるはずです。この辺りは実際に図を書いて考えると判りやすいと思います。ｙ＝ｇ（ｘ）のグラフの傾きは－１／ａとなりますから、両者の傾きを掛け合わせた値がー１になります。これが直交の条件です。

ベクトルが判るのであれば、原点をＯ、上記のｙ＝ｆ（ｘ）のグラフ上にある点（原点ではない）をＡとすると、ベクトルＯＡは（ｐ，ｐａ）で表されます。同様にｇ（ｘ）＝ｂｘという関数を考えたとき、グラフｙ＝ｇ（ｘ）上にある点をＢ（原点ではない）とするとベクトルＯＢは（ｑ、ｂｑ）で表されます。ＯＡとＯＢが直交するということは両者の内積がゼロということですから、
ｐｑ＋ｐｑａｂ＝０
両辺をｐｑで割ると
１＋ａｂ＝０
ａｂ＝－１
となり、両者の傾きの積がー１になることが導かれます。

上記は原点を通る直線同士のケースですが、ｙ切片がゼロでない場合でもそのグラフは原点を通る直線平行移動したものですから角度の関係については差異がなく、同様に傾きの積が－１のとき直交することが判ります。